Номер 7.26, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.26 Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый тракторист может вспахать все поле, работая отдельно, а $y$ часов — время, за которое это сделает второй тракторист. Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Тогда производительность первого тракториста (скорость работы) составляет $\frac{1}{x}$ поля в час, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ поля в час.

Из первого условия задачи известно, что, работая совместно, они вспахали поле за 48 часов. Их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Используя формулу "Работа = Производительность × Время", составим первое уравнение: $$ (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 48 = 1 $$ Отсюда получаем: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} $$

Из второго условия задачи известно, что если бы один тракторист вспахал половину поля, а затем другой — оставшуюся половину, то вся работа была бы выполнена за 100 часов. Время, необходимое первому трактористу для вспашки половины поля (работа равна $\frac{1}{2}$), составляет $t_1 = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов. Время, необходимое второму трактористу для вспашки второй половины поля, составляет $t_2 = \frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов. Суммарное время равно 100 часам, что дает нам второе уравнение: $$ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 100 $$ Умножив обе части на 2, получим: $$ x + y = 200 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48} \\ x + y = 200 \end{cases} $$

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 200 - x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{200 - x} = \frac{1}{48} $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(200 - x)$: $$ \frac{200 - x + x}{x(200 - x)} = \frac{1}{48} $$ $$ \frac{200}{200x - x^2} = \frac{1}{48} $$

По свойству пропорции (или умножив обе части на $48 \cdot (200x - x^2)$), получаем: $$ 200 \cdot 48 = 200x - x^2 $$ $$ 9600 = 200x - x^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 - 200x + 9600 = 0 $$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600 $$ Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.

Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-(-200) + 40}{2 \cdot 1} = \frac{240}{2} = 120 $$ $$ x_2 = \frac{-(-200) - 40}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80 $$

Мы получили два возможных значения для времени работы первого тракториста. Найдем соответствующие значения для второго тракториста, используя соотношение $y = 200 - x$:

• Если $x_1 = 120$ часов, то $y_1 = 200 - 120 = 80$ часов.
• Если $x_2 = 80$ часов, то $y_2 = 200 - 80 = 120$ часов.

Оба варианта решения указывают на то, что время работы одного тракториста — 80 часов, а другого — 120 часов.

Ответ: один тракторист мог бы вспахать поле за 80 часов, а другой — за 120 часов.