Номер 7.31, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.31 При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 7, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 4. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получилось в частном 52 и в остатке 26. Найдите исходные числа.

1. Введение переменных. Пусть меньшее из двух искомых натуральных чисел равно $x$. Поскольку разность чисел равна 7, большее число будет равно $x+7$.

2. Составление уравнений на основе условия. Истинное произведение этих чисел, обозначим его как $P$, равно $x(x+7)$. По условию, при вычислении произведения была допущена ошибка: цифра сотен была увеличена на 4. Это означает, что полученное неверное произведение, назовем его $P'$, больше истинного на $4 \times 100 = 400$. Следовательно, $P' = P + 400 = x(x+7) + 400$.

Также в задаче говорится, что при делении неверного произведения $P'$ на меньший множитель $x$ получилось частное 52 и остаток 26. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком: $P' = 52 \cdot x + 26$. Важным следствием этой формулы является то, что остаток должен быть строго меньше делителя, то есть $26 < x$.

3. Решение системы уравнений. Теперь у нас есть два выражения для неверного произведения $P'$. Приравняем их: $x(x+7) + 400 = 52x + 26$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 7x + 400 = 52x + 26$ $x^2 + 7x - 52x + 400 - 26 = 0$ $x^2 - 45x + 374 = 0$

4. Нахождение корней квадратного уравнения. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 374 = 2025 - 1496 = 529$ $\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-45) + 23}{2 \cdot 1} = \frac{45 + 23}{2} = \frac{68}{2} = 34$ $x_2 = \frac{-(-45) - 23}{2 \cdot 1} = \frac{45 - 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$

5. Проверка корней и выбор правильного решения. Мы получили два возможных значения для меньшего числа $x$: 34 и 11. Однако мы помним условие, вытекающее из деления с остатком: $x > 26$. Проверим наши корни:

• $x_1 = 34$. Неравенство $34 > 26$ выполняется. Этот корень подходит.
• $x_2 = 11$. Неравенство $11 > 26$ не выполняется. Этот корень является посторонним, так как остаток (26) не может быть больше делителя (11).

Следовательно, меньшее число равно 34. Найдем большее число: $x + 7 = 34 + 7 = 41$. Исходные числа — 34 и 41.

Ответ: 34 и 41.