Номер 7.38, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.38 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Каждый идёт с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда пешеходы встретились во второй раз, оказалось, что первый прошёл на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в $A$ через час, а второй в $B$ — через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В в км, $v_1$ — скорость первого пешехода (вышедшего из А) в км/ч, а $v_2$ — скорость второго пешехода (вышедшего из В) в км/ч.

Анализ пути до второй встречи

К моменту первой встречи пешеходы, двигаясь навстречу друг другу, вместе проходят расстояние $S$. Чтобы встретиться во второй раз, им нужно после первой встречи дойти до противоположных концов маршрута (пройдя вместе еще $S$) и, повернув обратно, снова двигаться навстречу друг другу до встречи (пройдя вместе еще $S$). Таким образом, к моменту второй встречи суммарное расстояние, пройденное обоими пешеходами, составляет $3S$.

Пусть $t_2$ — время от начала движения до второй встречи. За это время первый пешеход прошел путь $S_1 = v_1 t_2$, а второй — $S_2 = v_2 t_2$. Их суммарный путь $S_1 + S_2 = 3S$.

По условию, к моменту второй встречи первый пешеход прошел на 4 км больше, чем второй: $S_1 = S_2 + 4$.

Мы имеем систему двух уравнений:
$S_1 + S_2 = 3S$
$S_1 - S_2 = 4$

Сложив эти уравнения, получаем $2S_1 = 3S + 4$, откуда $S_1 = \frac{3S+4}{2}$.
Вычтя второе уравнение из первого, получаем $2S_2 = 3S - 4$, откуда $S_2 = \frac{3S-4}{2}$.

Анализ движения после второй встречи

Пусть вторая встреча произошла в точке M на расстоянии $x$ от пункта А. Первый пешеход к этому моменту дошел из А в В и повернул обратно. Пройденный им путь $S_1 = S + (S-x) = 2S-x$. Второй пешеход дошел из В в А и повернул обратно. Пройденный им путь $S_2 = S + x$.

Подставим $S_1$ и $S_2$ в уравнение $S_1 = S_2 + 4$:
$2S-x = (S+x) + 4$
$S - 4 = 2x$
$x = \frac{S-4}{2}$

После встречи в точке М первому пешеходу осталось пройти $x$ км до пункта А, что он сделал за 1 час. Значит, его скорость $v_1 = \frac{x}{1} = x = \frac{S-4}{2}$ км/ч. Второму пешеходу осталось пройти $S-x$ км до пункта В, что он сделал за 2,5 часа. Его скорость $v_2 = \frac{S-x}{2.5}$.
Найдем расстояние $S-x$: $S - \frac{S-4}{2} = \frac{2S - S + 4}{2} = \frac{S+4}{2}$.
Тогда $v_2 = \frac{(S+4)/2}{2.5} = \frac{S+4}{5}$ км/ч.

Составление и решение уравнения

Отношение скоростей пешеходов постоянно и равно отношению пройденных ими путей за одинаковое время: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_1}{S_2}$.
Используя выражения для $S_1$ и $S_2$ из первого пункта: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{(3S+4)/2}{(3S-4)/2} = \frac{3S+4}{3S-4}$.

Теперь подставим в это соотношение выражения для $v_1$ и $v_2$, которые мы нашли ранее:
$\frac{\frac{S-4}{2}}{\frac{S+4}{5}} = \frac{3S+4}{3S-4}$
$\frac{5(S-4)}{2(S+4)} = \frac{3S+4}{3S-4}$

Решим полученное уравнение:
$5(S-4)(3S-4) = 2(S+4)(3S+4)$
$5(3S^2 - 16S + 16) = 2(3S^2 + 16S + 16)$
$15S^2 - 80S + 80 = 6S^2 + 32S + 32$
$9S^2 - 112S + 48 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-112)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 48 = 12544 - 1728 = 10816 = 104^2$
$S = \frac{112 \pm 104}{18}$

$S_1 = \frac{112+104}{18} = \frac{216}{18} = 12$.
$S_2 = \frac{112-104}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Поскольку скорость $v_1 = \frac{S-4}{2}$ должна быть положительной, то $S > 4$. Поэтому корень $S_2 = \frac{4}{9}$ не является решением задачи. Следовательно, расстояние между пунктами А и В равно $S=12$ км.

Нахождение скоростей

Теперь, зная $S$, мы можем найти скорости пешеходов:
$v_1 = \frac{S-4}{2} = \frac{12-4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ км/ч.
$v_2 = \frac{S+4}{5} = \frac{12+4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$ км/ч.

Ответ: Скорость первого пешехода равна 4 км/ч, скорость второго пешехода — 3,2 км/ч.