Страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.38 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$. Каждый идёт с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда пешеходы встретились во второй раз, оказалось, что первый прошёл на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в $A$ через час, а второй в $B$ — через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами А и В в км, $v_1$ — скорость первого пешехода (вышедшего из А) в км/ч, а $v_2$ — скорость второго пешехода (вышедшего из В) в км/ч.

Анализ пути до второй встречи

К моменту первой встречи пешеходы, двигаясь навстречу друг другу, вместе проходят расстояние $S$. Чтобы встретиться во второй раз, им нужно после первой встречи дойти до противоположных концов маршрута (пройдя вместе еще $S$) и, повернув обратно, снова двигаться навстречу друг другу до встречи (пройдя вместе еще $S$). Таким образом, к моменту второй встречи суммарное расстояние, пройденное обоими пешеходами, составляет $3S$.

Пусть $t_2$ — время от начала движения до второй встречи. За это время первый пешеход прошел путь $S_1 = v_1 t_2$, а второй — $S_2 = v_2 t_2$. Их суммарный путь $S_1 + S_2 = 3S$.

По условию, к моменту второй встречи первый пешеход прошел на 4 км больше, чем второй: $S_1 = S_2 + 4$.

Мы имеем систему двух уравнений:
$S_1 + S_2 = 3S$
$S_1 - S_2 = 4$

Сложив эти уравнения, получаем $2S_1 = 3S + 4$, откуда $S_1 = \frac{3S+4}{2}$.
Вычтя второе уравнение из первого, получаем $2S_2 = 3S - 4$, откуда $S_2 = \frac{3S-4}{2}$.

Анализ движения после второй встречи

Пусть вторая встреча произошла в точке M на расстоянии $x$ от пункта А. Первый пешеход к этому моменту дошел из А в В и повернул обратно. Пройденный им путь $S_1 = S + (S-x) = 2S-x$. Второй пешеход дошел из В в А и повернул обратно. Пройденный им путь $S_2 = S + x$.

Подставим $S_1$ и $S_2$ в уравнение $S_1 = S_2 + 4$:
$2S-x = (S+x) + 4$
$S - 4 = 2x$
$x = \frac{S-4}{2}$

После встречи в точке М первому пешеходу осталось пройти $x$ км до пункта А, что он сделал за 1 час. Значит, его скорость $v_1 = \frac{x}{1} = x = \frac{S-4}{2}$ км/ч. Второму пешеходу осталось пройти $S-x$ км до пункта В, что он сделал за 2,5 часа. Его скорость $v_2 = \frac{S-x}{2.5}$.
Найдем расстояние $S-x$: $S - \frac{S-4}{2} = \frac{2S - S + 4}{2} = \frac{S+4}{2}$.
Тогда $v_2 = \frac{(S+4)/2}{2.5} = \frac{S+4}{5}$ км/ч.

Составление и решение уравнения

Отношение скоростей пешеходов постоянно и равно отношению пройденных ими путей за одинаковое время: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_1}{S_2}$.
Используя выражения для $S_1$ и $S_2$ из первого пункта: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{(3S+4)/2}{(3S-4)/2} = \frac{3S+4}{3S-4}$.

Теперь подставим в это соотношение выражения для $v_1$ и $v_2$, которые мы нашли ранее:
$\frac{\frac{S-4}{2}}{\frac{S+4}{5}} = \frac{3S+4}{3S-4}$
$\frac{5(S-4)}{2(S+4)} = \frac{3S+4}{3S-4}$

Решим полученное уравнение:
$5(S-4)(3S-4) = 2(S+4)(3S+4)$
$5(3S^2 - 16S + 16) = 2(3S^2 + 16S + 16)$
$15S^2 - 80S + 80 = 6S^2 + 32S + 32$
$9S^2 - 112S + 48 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-112)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 48 = 12544 - 1728 = 10816 = 104^2$
$S = \frac{112 \pm 104}{18}$

$S_1 = \frac{112+104}{18} = \frac{216}{18} = 12$.
$S_2 = \frac{112-104}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Поскольку скорость $v_1 = \frac{S-4}{2}$ должна быть положительной, то $S > 4$. Поэтому корень $S_2 = \frac{4}{9}$ не является решением задачи. Следовательно, расстояние между пунктами А и В равно $S=12$ км.

Нахождение скоростей

Теперь, зная $S$, мы можем найти скорости пешеходов:
$v_1 = \frac{S-4}{2} = \frac{12-4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ км/ч.
$v_2 = \frac{S+4}{5} = \frac{12+4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$ км/ч.

Ответ: Скорость первого пешехода равна 4 км/ч, скорость второго пешехода — 3,2 км/ч.

7.39 Два поезда отправляются из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Если поезд из $A$ выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из $B$, то встреча произойдёт на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорость поездов и расстояние между $A$ и $B$, если известно, что скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого.

Для решения задачи введем следующие переменные:
$S$ — расстояние между пунктами А и В (в км);
$v_A$ — скорость поезда, отправляющегося из пункта А (в км/ч);
$v_B$ — скорость поезда, отправляющегося из пункта В (в км/ч).

1. Анализ первого условия

Согласно первому условию, "если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В, то встреча произойдёт на середине пути". Это значит, что каждый поезд проедет расстояние, равное $S/2$.

Пусть $t_B$ — время движения поезда из пункта В до встречи. Тогда время движения поезда из пункта А составит $t_A = t_B + 2$ часа.

Составим уравнения пути для каждого поезда:
$S/2 = v_A \cdot t_A = v_A \cdot (t_B + 2)$
$S/2 = v_B \cdot t_B$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые: $v_A \cdot (t_B + 2) = v_B \cdot t_B$
$v_A \cdot t_B + 2v_A = v_B \cdot t_B$
$2v_A = v_B \cdot t_B - v_A \cdot t_B$
$2v_A = (v_B - v_A) \cdot t_B$

Так как время $t_B$ и скорость $v_A$ — величины положительные, то и разность $(v_B - v_A)$ должна быть положительной. Отсюда следует, что $v_B > v_A$. Это означает, что поезд, выехавший из пункта В, имеет большую скорость.

Теперь мы можем использовать условие о разнице скоростей: "скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого". Так как $v_B > v_A$, то $v_B = v_A + 40$.

2. Анализ второго условия

Согласно второму условию, "если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин".

Переведем время встречи в часы: $3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3.75$ часа.

При одновременном движении навстречу друг другу общее расстояние равно произведению суммы их скоростей (скорости сближения) на время в пути:
$S = (v_A + v_B) \cdot 3.75$

3. Составление и решение системы уравнений

У нас есть система зависимостей. Вернемся к уравнению из первого пункта: $2v_A = (v_B - v_A) \cdot t_B$. Время $t_B$ можно выразить из формулы пути поезда В: $t_B = \frac{S/2}{v_B} = \frac{S}{2v_B}$.

Подставим это выражение для $t_B$:
$2v_A = (v_B - v_A) \cdot \frac{S}{2v_B}$
$4v_A v_B = S \cdot (v_B - v_A)$

Теперь мы имеем систему из двух основных уравнений с переменными $S, v_A, v_B$ и одного уравнения связи:
1) $4v_A v_B = S(v_B - v_A)$
2) $S = (v_A + v_B) \cdot 3.75$
3) $v_B = v_A + 40$

Подставим выражение для $v_B$ из (3) в (1) и (2):
В (1): $4v_A(v_A + 40) = S((v_A + 40) - v_A) \implies 4v_A(v_A + 40) = 40S \implies v_A(v_A + 40) = 10S$.
В (2): $S = (v_A + v_A + 40) \cdot 3.75 \implies S = (2v_A + 40) \cdot 3.75 \implies S = 7.5(v_A + 20)$.

Теперь подставим выражение для $S$ из второго преобразованного уравнения в первое:
$v_A(v_A + 40) = 10 \cdot [7.5(v_A + 20)]$
$v_A(v_A + 40) = 75(v_A + 20)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $v_A$:
$v_A^2 + 40v_A = 75v_A + 1500$
$v_A^2 - 35v_A - 1500 = 0$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1500) = 1225 + 6000 = 7225$
$\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$

Находим возможные значения для $v_A$:
$v_{A1} = \frac{35 + 85}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_{A2} = \frac{35 - 85}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение: $v_A = 60$ км/ч.

4. Нахождение искомых величин

Зная скорость поезда из А, находим скорость поезда из В:
$v_B = v_A + 40 = 60 + 40 = 100$ км/ч.

Теперь вычисляем расстояние $S$ между пунктами А и В:
$S = 7.5(v_A + 20) = 7.5(60 + 20) = 7.5 \cdot 80 = 600$ км.

Ответ: Скорость поезда, отправляющегося из пункта А, равна 60 км/ч; скорость поезда, отправляющегося из пункта В, равна 100 км/ч; расстояние между пунктами А и В составляет 600 км.

7.40 По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.

Пусть $L$ — длина окружности, $v_1$ и $v_2$ — скорости точек, а $T_1$ и $T_2$ — их периоды обращения. По условию, $L = 60$ м. Пусть $v_1 > v_2$, тогда первая точка совершает оборот быстрее, то есть ее период $T_1$ меньше периода $T_2$.

Скорость точки, движущейся по окружности, связана с ее периодом и длиной окружности соотношением $v = L/T$. Таким образом, для наших точек имеем $v_1 = L/T_1$ и $v_2 = L/T_2$.

Из условия задачи известно, что одна точка совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой, что можно записать как:

$T_2 - T_1 = 5 \text{ с}$, или $T_2 = T_1 + 5 \text{ с}$.

Также дано, что совпадение (встреча) точек происходит каждый раз через 1 минуту. Переведем это время в секунды: $t_{встр} = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

Поскольку точки движутся в одном направлении, их встреча происходит, когда более быстрая точка обгоняет более медленную на целый круг. За время $t_{встр}$ первая точка проходит расстояние $s_1 = v_1 t_{встр}$, а вторая — $s_2 = v_2 t_{встр}$. Условие встречи имеет вид:

$s_1 - s_2 = L$

$(v_1 - v_2)t_{встр} = L$

Подставим в это уравнение выражения для скоростей через периоды:

$(\frac{L}{T_1} - \frac{L}{T_2})t_{встр} = L$

Разделим обе части на $L$ (так как $L \neq 0$):

$(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})t_{встр} = 1$

Приведем разность дробей к общему знаменателю:

$\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} t_{встр} = 1$

Теперь подставим известные значения $T_2 - T_1 = 5$ с и $t_{встр} = 60$ с:

$\frac{5}{T_1 T_2} \cdot 60 = 1$

$\frac{300}{T_1 T_2} = 1 \implies T_1 T_2 = 300$

Мы получили систему из двух уравнений для нахождения периодов $T_1$ и $T_2$: $T_2 = T_1 + 5$ и $T_1 T_2 = 300$. Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:

$T_1 (T_1 + 5) = 300$

Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение:

$T_1^2 + 5T_1 - 300 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = 35$.

Находим корни уравнения для $T_1$:

$T_{1,1} = \frac{-5 + 35}{2} = 15$

$T_{1,2} = \frac{-5 - 35}{2} = -20$

Так как период обращения не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень: $T_1 = 15$ с.

Теперь найдем период второй точки:

$T_2 = T_1 + 5 = 15 + 5 = 20$ с.

Зная периоды и длину окружности ($L = 60$ м), можем найти скорости точек:

$v_1 = \frac{L}{T_1} = \frac{60 \text{ м}}{15 \text{ с}} = 4$ м/с.

$v_2 = \frac{L}{T_2} = \frac{60 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 3$ м/с.

Ответ: скорости движения точек равны 4 м/с и 3 м/с.

7.41 Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошёл пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шёл пешком столько времени, сколько на самом деле он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько на самом деле шёл пешком, то соответствующие расстояния были бы равны. Сколько времени он шёл пешком и сколько времени он плыл по реке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_п$ — время, которое турист шёл пешком (в часах), а $t_л$ — время, которое турист плыл на лодке (в часах). Также обозначим $v_п$ — скорость пешком (в км/ч) и $v_л$ — скорость на лодке (в км/ч).

Из условия задачи известны пройденные расстояния: $S_п = 10$ км и $S_л = 90$ км.

Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$, можно выразить скорости туриста:
$v_п = \frac{S_п}{t_п} = \frac{10}{t_п}$
$v_л = \frac{S_л}{t_л} = \frac{90}{t_л}$

По первому условию, на пеший путь было затрачено на 4 часа меньше, чем на путь по реке. Составим первое уравнение:
$t_п = t_л - 4$

По второму условию, если бы турист шёл пешком столько времени, сколько плыл на лодке ($t_л$), а плыл на лодке столько времени, сколько шёл пешком ($t_п$), то пройденные расстояния были бы равны. Запишем это в виде второго уравнения:
$v_п \cdot t_л = v_л \cdot t_п$

Теперь подставим в это уравнение выражения для скоростей $v_п$ и $v_л$:
$\frac{10}{t_п} \cdot t_л = \frac{90}{t_л} \cdot t_п$

Мы получили систему из двух уравнений. Упростим второе уравнение, умножив обе его части на $t_п \cdot t_л$ (это допустимо, так как время не может быть нулевым):
$10 \cdot t_л^2 = 90 \cdot t_п^2$

Разделим обе части уравнения на 10:
$t_л^2 = 9 \cdot t_п^2$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$t_л = 3 \cdot t_п$

Теперь у нас есть простая система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} t_п = t_л - 4 \\ t_л = 3 \cdot t_п \end{cases} $

Подставим второе уравнение ($t_л = 3 \cdot t_п$) в первое:
$t_п = (3 \cdot t_п) - 4$

Решим полученное уравнение:
$4 = 3 \cdot t_п - t_п$
$4 = 2 \cdot t_п$
$t_п = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, время, затраченное туристом на пеший путь, составляет 2 часа.

Теперь найдем время, затраченное на путь по реке, используя соотношение $t_л = 3 \cdot t_п$:
$t_л = 3 \cdot 2 = 6$

Время, затраченное туристом на путь по реке, составляет 6 часов.

Ответ: турист шёл пешком 2 часа и плыл по реке 6 часов.

7.42 От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер прошёл 96 км, затем повернул обратно и вернулся к пристани А через 14 ч. Известно, что скорость катера по течению в $1 \frac{1}{3}$ раза больше скорости катера против течения. На каком расстоянии от пристани А катер встретил плот на обратном пути?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_k$ - собственная скорость катера (в км/ч); $v_t$ - скорость течения реки, которая также является скоростью плота (в км/ч); $v_{по}$ - скорость катера по течению ($v_{по} = v_k + v_t$); $v_{пр}$ - скорость катера против течения ($v_{пр} = v_k - v_t$); $S = 96$ км - расстояние, пройденное катером вниз по течению; $T = 14$ ч - общее время движения катера.

Сначала найдем скорости катера по течению и против течения. Катер прошел 96 км по течению и 96 км против течения, затратив на весь путь 14 часов. Можем составить уравнение: $$ \frac{96}{v_{по}} + \frac{96}{v_{пр}} = 14 $$

По условию известно, что скорость катера по течению в $1\frac{1}{3}$ раза больше скорости катера против течения. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Таким образом, имеем второе уравнение: $$ v_{по} = \frac{4}{3} v_{пр} $$

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} \frac{96}{v_{по}} + \frac{96}{v_{пр}} = 14 \\ v_{по} = \frac{4}{3} v_{пр} \end{cases} $$

Подставим выражение для $v_{по}$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{96}{\frac{4}{3}v_{пр}} + \frac{96}{v_{пр}} = 14 $$ Выполним преобразования: $$ \frac{96 \cdot 3}{4v_{пр}} + \frac{96}{v_{пр}} = 14 $$ $$ \frac{72}{v_{пр}} + \frac{96}{v_{пр}} = 14 $$ $$ \frac{168}{v_{пр}} = 14 $$ Отсюда находим скорость против течения: $$ v_{пр} = \frac{168}{14} = 12 \text{ км/ч} $$

Зная скорость против течения, найдем скорость по течению: $$ v_{по} = \frac{4}{3} \cdot v_{пр} = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16 \text{ км/ч} $$

Чтобы найти расстояние, на котором катер встретил плот, нам нужна скорость течения, так как она равна скорости плота. Найдем ее, а также собственную скорость катера, из системы уравнений: $$ \begin{cases} v_k + v_t = v_{по} = 16 \\ v_k - v_t = v_{пр} = 12 \end{cases} $$ Сложив эти два уравнения, получаем: $2v_k = 16 + 12 = 28$, откуда собственная скорость катера $v_k = 14$ км/ч. Подставив $v_k$ в первое уравнение, находим скорость течения: $14 + v_t = 16$, откуда $v_t = 2$ км/ч. Следовательно, скорость плота $v_{плота} = v_t = 2$ км/ч.

Теперь определим момент и место встречи. Пусть встреча произошла через время $t$ после одновременного старта из пристани А.

За время $t$ плот отплыл от пристани А на расстояние $S_{плота} = v_{плота} \cdot t = 2t$.

Катер сначала плыл по течению 96 км. Время, затраченное на этот путь, составляет: $$ t_1 = \frac{S}{v_{по}} = \frac{96}{16} = 6 \text{ часов} $$ Встреча произошла на обратном пути катера, то есть при $t > 6$ часов. К моменту встречи $t$ катер плыл против течения в течение времени $(t - 6)$ часов.

Расстояние катера от пристани А в момент времени $t$ можно рассчитать как разность между максимальным удалением (96 км) и расстоянием, которое он прошел обратно: $$ S_{катера} = 96 - v_{пр} \cdot (t - 6) = 96 - 12(t - 6) $$

В момент встречи их расстояния от пристани А равны ($S_{плота} = S_{катера}$): $$ 2t = 96 - 12(t - 6) $$

Решим полученное уравнение, чтобы найти время встречи $t$: $$ 2t = 96 - 12t + 72 $$ $$ 14t = 168 $$ $$ t = \frac{168}{14} = 12 \text{ часов} $$

Встреча произошла через 12 часов после начала движения. Чтобы найти расстояние от пристани А, подставим найденное время в формулу для расстояния, которое прошел плот: $$ S_{встречи} = v_{плота} \cdot t = 2 \text{ км/ч} \cdot 12 \text{ ч} = 24 \text{ км} $$

Ответ: 24 км.

7.43 Две наборщицы напечатали текст рукописи за 6 ч. Если сначала первая наборщица напечатает половину рукописи, а затем вторая — оставшуюся часть, то на всю работу будет затрачено 12,5 ч. За какое время может выполнить всю работу каждая наборщица?

Обозначим время, за которое первая наборщица может выполнить всю работу самостоятельно, как $x$ часов, а время второй наборщицы — как $y$ часов.

Тогда производительность первой наборщицы составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второй — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Согласно первому условию, работая вместе, они напечатали рукопись за 6 часов. Их совместная производительность — это сумма их индивидуальных производительностей. Таким образом, можно составить первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 6 = 1$

Разделив обе части на 6, получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, первая наборщица, работая одна, напечатала половину рукописи. Время, затраченное ею, составляет $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов. Затем вторая наборщица напечатала вторую половину рукописи, затратив $\frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов. Общее время составило 12,5 часов. Отсюда получаем второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 12.5$

Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x + y = 25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\x + y = 25\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 25 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{25 - x} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(25-x)$:

$\frac{(25 - x) + x}{x(25 - x)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25x - x^2} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$25 \cdot 6 = 1 \cdot (25x - x^2)$

$150 = 25x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 25x + 150 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а их произведение равно 150. Подбором находим корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$ для каждого из корней:

1. Если $x_1 = 10$, то $y_1 = 25 - 10 = 15$.

2. Если $x_2 = 15$, то $y_2 = 25 - 15 = 10$.

Оба варианта решения приводят к одному и тому же результату: время выполнения работы одной из наборщиц — 10 часов, а другой — 15 часов.

Ответ: Одна наборщица может выполнить всю работу за 10 часов, а другая — за 15 часов.