Номер 7.41, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций. Глава 2. Системы уравнений. ч. 2 - номер 7.41, страница 45.

7.41 Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошёл пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шёл пешком столько времени, сколько на самом деле он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько на самом деле шёл пешком, то соответствующие расстояния были бы равны. Сколько времени он шёл пешком и сколько времени он плыл по реке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_п$ — время, которое турист шёл пешком (в часах), а $t_л$ — время, которое турист плыл на лодке (в часах). Также обозначим $v_п$ — скорость пешком (в км/ч) и $v_л$ — скорость на лодке (в км/ч).

Из условия задачи известны пройденные расстояния: $S_п = 10$ км и $S_л = 90$ км.

Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$, можно выразить скорости туриста:
$v_п = \frac{S_п}{t_п} = \frac{10}{t_п}$
$v_л = \frac{S_л}{t_л} = \frac{90}{t_л}$

По первому условию, на пеший путь было затрачено на 4 часа меньше, чем на путь по реке. Составим первое уравнение:
$t_п = t_л - 4$

По второму условию, если бы турист шёл пешком столько времени, сколько плыл на лодке ($t_л$), а плыл на лодке столько времени, сколько шёл пешком ($t_п$), то пройденные расстояния были бы равны. Запишем это в виде второго уравнения:
$v_п \cdot t_л = v_л \cdot t_п$

Теперь подставим в это уравнение выражения для скоростей $v_п$ и $v_л$:
$\frac{10}{t_п} \cdot t_л = \frac{90}{t_л} \cdot t_п$

Мы получили систему из двух уравнений. Упростим второе уравнение, умножив обе его части на $t_п \cdot t_л$ (это допустимо, так как время не может быть нулевым):
$10 \cdot t_л^2 = 90 \cdot t_п^2$

Разделим обе части уравнения на 10:
$t_л^2 = 9 \cdot t_п^2$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$t_л = 3 \cdot t_п$

Теперь у нас есть простая система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} t_п = t_л - 4 \\ t_л = 3 \cdot t_п \end{cases} $

Подставим второе уравнение ($t_л = 3 \cdot t_п$) в первое:
$t_п = (3 \cdot t_п) - 4$

Решим полученное уравнение:
$4 = 3 \cdot t_п - t_п$
$4 = 2 \cdot t_п$
$t_п = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, время, затраченное туристом на пеший путь, составляет 2 часа.

Теперь найдем время, затраченное на путь по реке, используя соотношение $t_л = 3 \cdot t_п$:
$t_л = 3 \cdot 2 = 6$

Время, затраченное туристом на путь по реке, составляет 6 часов.

Ответ: турист шёл пешком 2 часа и плыл по реке 6 часов.