Номер 7.34, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.34 Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 120 км он затрачивает времени на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста.

По условию, велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист. Выразим эту разницу в скоростях в км/ч.

600 м = 0,6 км. Разница в расстоянии за минуту составляет 0,6 км.

Поскольку в одном часе 60 минут, разница в скоростях будет:
$0,6 \text{ км/мин} \times 60 \text{ мин/ч} = 36 \text{ км/ч}$.

Это означает, что скорость мотоциклиста на 36 км/ч больше скорости велосипедиста. Таким образом, скорость мотоциклиста составляет $(x + 36)$ км/ч.

Весь путь составляет 120 км. Время, которое затратит велосипедист, вычисляется по формуле $t = S/v$:
$t_{велосипедиста} = \frac{120}{x}$ часов.

Время, которое затратит мотоциклист:
$t_{мотоциклиста} = \frac{120}{x + 36}$ часов.

Известно, что велосипедист затрачивает на путь на 3 часа больше, чем мотоциклист. На основе этого составим уравнение:

$t_{велосипедиста} - t_{мотоциклиста} = 3$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 36} = 3$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 36} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 36)$:

$\frac{40(x + 36) - 40x}{x(x + 36)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{40x + 1440 - 40x}{x^2 + 36x} = 1$

$\frac{1440}{x^2 + 36x} = 1$

Из этого следует (при условии, что $x \ne 0$ и $x \ne -36$):

$x^2 + 36x = 1440$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

$\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-36 - 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 24 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

$x + 36 = 24 + 36 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста — 24 км/ч, скорость мотоциклиста — 60 км/ч.