Номер 7.30, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.30 Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получит-ся 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?

Обозначим задуманные натуральные числа как a (первое число) и b (второе число).

Согласно условию задачи, произведение этих чисел равно 720. Это можно записать в виде уравнения:
$a \cdot b = 720$

Также из условия известно, что при делении первого числа (a) на второе (b) в частном получается 3 и в остатке 3. Это означает, что первое число можно представить в виде:
$a = 3 \cdot b + 3$
Важным условием деления с остатком является то, что остаток должен быть меньше делителя, то есть $3 < b$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a \cdot b = 720 \\ a = 3b + 3 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для a из второго уравнения в первое:
$(3b + 3) \cdot b = 720$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно b:
$3b^2 + 3b = 720$
Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:
$b^2 + b = 240$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$b^2 + b - 240 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = B^2 - 4AC$):
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Теперь вычислим возможные значения для b:
$b_1 = \frac{-1 + 31}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$b_2 = \frac{-1 - 31}{2 \cdot 1} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку по условию задачи b — это натуральное число, отрицательный корень $b_2 = -16$ нам не подходит. Следовательно, второе число $b = 15$. Это значение удовлетворяет условию $b > 3$ (так как $15 > 3$).

Теперь найдем первое число a, подставив значение $b = 15$ в выражение $a = 3b + 3$:
$a = 3 \cdot 15 + 3 = 45 + 3 = 48$

Итак, задуманные числа — это 48 и 15.

Выполним проверку:
1. Произведение чисел: $48 \cdot 15 = 720$. Условие выполнено.
2. Деление с остатком: $48 \div 15 = 3$ с остатком $3$, так как $48 = 15 \cdot 3 + 3$. Условие выполнено.

Ответ: 48 и 15.