Номер 7.35, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.35 Автомобили двух моделей выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, причём автомобиль первой модели вышел из А на 15 с раньше. Пройдя расстояние AB, равное 60 м, каждый сразу повернул обратно и вернулся к месту старта. Найдите скорость каждого автомобиля, если первая встреча между ними произошла через 21 с, а вторая — через 45 с после выхода автомобиля первой модели.

Обозначим скорость автомобиля первой модели (выехавшего из пункта А) как $v_1$, а скорость автомобиля второй модели (выехавшего из пункта В) как $v_2$. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 60$ м.

Время будем отсчитывать с момента выезда первого автомобиля. Таким образом, первый автомобиль находится в пути время $t$, а второй, выехавший на 15 с позже, находится в пути время $(t-15)$ с.

Первая встреча

Первая встреча произошла через $t_1 = 21$ с после выезда первого автомобиля. К этому моменту автомобили двигались навстречу друг другу. Первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 21v_1$. Второй автомобиль к этому моменту был в пути $21 - 15 = 6$ с и проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot (21-15) = 6v_2$.

Так как они встретились, двигаясь навстречу, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пунктами А и В:

$S_1 + S_2 = S$

$21v_1 + 6v_2 = 60$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$7v_1 + 2v_2 = 20$ (1)

Вторая встреча

Вторая встреча произошла через $t_2 = 45$ с после выезда первого автомобиля. К этому моменту каждый автомобиль доехал до противоположного пункта и, развернувшись, поехал обратно.

Общий путь, пройденный обоими автомобилями к моменту второй встречи, равен трем расстояниям $AB$. То есть, сначала они вместе преодолели расстояние $S$, чтобы встретиться в первый раз. Затем, чтобы встретиться во второй раз, им суммарно нужно проехать еще $2S$. Общий путь составляет $S + 2S = 3S$.

К моменту времени $t_2 = 45$ с первый автомобиль проехал расстояние $S_{1,общ} = v_1 \cdot t_2 = 45v_1$.

Второй автомобиль к этому моменту был в пути $45 - 15 = 30$ с и проехал расстояние $S_{2,общ} = v_2 \cdot (45 - 15) = 30v_2$.

Сумма этих расстояний равна $3S$:

$S_{1,общ} + S_{2,общ} = 3S$

$45v_1 + 30v_2 = 3 \cdot 60$

$45v_1 + 30v_2 = 180$

Разделим обе части уравнения на 15 для упрощения:

$3v_1 + 2v_2 = 12$ (2)

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 7v_1 + 2v_2 = 20 \\ 3v_1 + 2v_2 = 12 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(7v_1 + 2v_2) - (3v_1 + 2v_2) = 20 - 12$

$4v_1 = 8$

$v_1 = 2$ м/с

Подставим найденное значение $v_1$ во второе уравнение, чтобы найти $v_2$:

$3(2) + 2v_2 = 12$

$6 + 2v_2 = 12$

$2v_2 = 6$

$v_2 = 3$ м/с

Ответ: скорость автомобиля первой модели равна 2 м/с, а скорость автомобиля второй модели — 3 м/с.