Номер 7.37, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.37 Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 70 км от пункта А, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист со скоростью движения 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста в 20 км от пункта А. Прибыв в В, мотоциклист через 36 мин выехал обратно и встретился с велосипедистом спустя 3 ч 20 мин после выезда велосипедиста из А. Найдите скорость велосипедиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_в$ (в км/ч) — искомая скорость велосипедиста, а $t_з$ (в часах) — время задержки, то есть время, на которое мотоциклист выехал позже велосипедиста.

Из условия задачи известны:

• Расстояние между пунктами А и В: $S = 70$ км.
• Скорость мотоциклиста: $v_м = 50$ км/ч.

Этап 1: Первая встреча.
Первая встреча произошла на расстоянии $S_1 = 20$ км от пункта А.
Время, которое велосипедист затратил, чтобы проехать это расстояние, равно $t_в = \frac{S_1}{v_в} = \frac{20}{v_в}$ ч.
Мотоциклист проехал то же расстояние. Время, которое он затратил, равно $t_м = \frac{S_1}{v_м} = \frac{20}{50} = 0.4$ ч.
Так как мотоциклист выехал на $t_з$ часов позже, то к моменту встречи он был в пути на $t_з$ часов меньше, чем велосипедист. Таким образом, можно составить первое уравнение:
$t_в - t_м = t_з$
$\frac{20}{v_в} - 0.4 = t_з$

Этап 2: Вторая встреча.
Вторая встреча произошла через $T = 3$ ч 20 мин после выезда велосипедиста из А. Переведем это время в часы:
$T = 3 \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3}$ ч.
За это время велосипедист, двигаясь без остановок, проехал от пункта А расстояние:
$S_в = v_в \cdot T = v_в \cdot \frac{10}{3}$ км.

Теперь определим положение мотоциклиста в момент времени $T$. Его движение состоит из нескольких частей:

1. Движение от А до В: время в пути $t_{АВ} = \frac{S}{v_м} = \frac{70}{50} = 1.4$ ч.
2. Остановка в пункте В: время остановки $t_{ост} = 36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0.6$ ч.
3. Движение обратно из В в сторону А.

Мотоциклист выехал из А в момент времени $t_з$ (отсчитывая от старта велосипедиста). Он прибыл в В в момент $t_з + t_{АВ} = t_з + 1.4$ ч. Выехал обратно из В в момент $t_з + 1.4 + t_{ост} = t_з + 1.4 + 0.6 = t_з + 2$ ч.
Вторая встреча произошла в момент $T = \frac{10}{3}$ ч. Значит, время движения мотоциклиста на обратном пути (от В до второй встречи) составило:
$t_{обр} = T - (t_з + 2) = \frac{10}{3} - t_з - 2 = \frac{10-6}{3} - t_з = \frac{4}{3} - t_з$ ч.
За это время он проехал расстояние $S_{обр} = v_м \cdot t_{обр} = 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$ км.
Положение мотоциклиста в момент второй встречи относительно пункта А:
$S_м = S - S_{обр} = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$ км.

Этап 3: Составление и решение системы уравнений.
В момент второй встречи велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, значит $S_в = S_м$.
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $v_в$ и $t_з$:
1) $t_з = \frac{20}{v_в} - 0.4$
2) $\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - t_з\right)$
Подставим выражение для $t_з$ из первого уравнения во второе:
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - \left(\frac{20}{v_в} - 0.4\right)\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} - \frac{20}{v_в} + 0.4\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{4}{3} + \frac{2}{5} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{20+6}{15} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - 50 \left(\frac{26}{15} - \frac{20}{v_в}\right)$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - \frac{50 \cdot 26}{15} + \frac{50 \cdot 20}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = 70 - \frac{10 \cdot 26}{3} + \frac{1000}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = \frac{210 - 260}{3} + \frac{1000}{v_в}$
$\frac{10}{3} v_в = -\frac{50}{3} + \frac{1000}{v_в}$
Умножим обе части уравнения на $3v_в$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $v_в \neq 0$):
$10v_в^2 = -50v_в + 3000$
$10v_в^2 + 50v_в - 3000 = 0$
Разделим уравнение на 10:
$v_в^2 + 5v_в - 300 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
Найдем корни уравнения:
$v_{в1} = \frac{-5 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$v_{в2} = \frac{-5 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, единственным физически осмысленным решением является $v_в = 15$.

Ответ: 15 км/ч.