Номер 7.44, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.44 Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет выполнено только 60 % всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения задания?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое бригада учеников может самостоятельно выполнить все задание. Тогда производительность бригады учеников (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_{уч} = \frac{1}{x}$.

Согласно условию, бригада слесарей выполняет то же задание на 15 часов быстрее, значит, время выполнения задания бригадой слесарей составляет $(x - 15)$ часов. Производительность бригады слесарей равна $P_{сл} = \frac{1}{x - 15}$.

Так как время на выполнение работы должно быть положительным, должно выполняться условие $x - 15 > 0$, то есть $x > 15$.

По условию, бригада учеников работала 18 часов и выполнила часть задания, равную $18 \cdot P_{уч} = \frac{18}{x}$.

После этого бригада слесарей работала 6 часов и выполнила часть задания, равную $6 \cdot P_{сл} = \frac{6}{x - 15}$.

Вместе они выполнили 60% всего задания, что составляет 0,6 от всей работы. Составим уравнение на основе этих данных:

$\frac{18}{x} + \frac{6}{x - 15} = 0,6$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 0,6:

$\frac{18}{0,6x} + \frac{6}{0,6(x - 15)} = 1$

$\frac{30}{x} + \frac{10}{x - 15} = 1$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 15)$:

$\frac{30(x - 15) + 10x}{x(x - 15)} = 1$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 15$, можем умножить обе части на знаменатель:

$30(x - 15) + 10x = x(x - 15)$

$30x - 450 + 10x = x^2 - 15x$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 15x - 30x - 10x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь проверим корни на соответствие ранее установленному ограничению $x > 15$.

Корень $x_1 = 45$ удовлетворяет условию ($45 > 15$).

Корень $x_2 = 10$ не удовлетворяет условию ($10 < 15$), так как в этом случае время работы слесарей было бы отрицательным ($10 - 15 = -5$ ч), что лишено физического смысла.

Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 45$.

Ответ: 45 часов.