Номер 7.51, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.51 Суммарный доход двух предприятий возрастёт втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход второго увеличится в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить доход первого предприятия, оставляя неизменным доход второго, чтобы их суммарный доход вырос в 4 раза?

Обозначим первоначальный доход первого предприятия как $D_1$, а первоначальный доход второго предприятия как $D_2$. Их суммарный доход составляет $D_1 + D_2$.

Согласно первому условию, если доход первого предприятия не изменится ($D_1$), а доход второго увеличится в 4 раза ($4D_2$), то суммарный доход возрастёт втрое. Запишем это в виде уравнения:

$D_1 + 4D_2 = 3(D_1 + D_2)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы найти соотношение между доходами предприятий:

$D_1 + 4D_2 = 3D_1 + 3D_2$

$4D_2 - 3D_2 = 3D_1 - D_1$

$D_2 = 2D_1$

Это означает, что первоначальный доход второго предприятия был в два раза больше, чем у первого.

Теперь рассмотрим второе условие. Нам нужно найти, во сколько раз (обозначим этот множитель как $k$) нужно увеличить доход первого предприятия ($k \cdot D_1$), оставив доход второго неизменным ($D_2$), чтобы их суммарный доход вырос в 4 раза. Составим второе уравнение:

$k \cdot D_1 + D_2 = 4(D_1 + D_2)$

Теперь подставим в это уравнение найденное нами ранее соотношение $D_2 = 2D_1$:

$k \cdot D_1 + 2D_1 = 4(D_1 + 2D_1)$

Упростим полученное уравнение:

$D_1(k + 2) = 4(3D_1)$

$D_1(k + 2) = 12D_1$

Поскольку доход предприятия не может быть равен нулю ($D_1 \neq 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $D_1$:

$k + 2 = 12$

$k = 12 - 2$

$k = 10$

Таким образом, доход первого предприятия необходимо увеличить в 10 раз.

Ответ: в 10 раз.