Номер 7.46, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.46 Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шос-сейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участ-ка дороги вторая бригада, работающая не более чем в два раза бы-стрее первой. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причём первая бригада в своё рабочее время выполнила $ \frac{2}{3} $ всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Примем весь объем работы по ремонту участка дороги за 1.Пусть $v_1$ и $v_2$ — производительности первой и второй бригад соответственно (часть работы в день), а $t_1$ и $t_2$ — время (в днях), за которое каждая бригада выполнит всю работу в одиночку. Тогда $t_1 = \frac{1}{v_1}$ и $t_2 = \frac{1}{v_2}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Работая вместе, бригады должны были отремонтировать участок за 18 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{18}$ работы в день.
$v_1 + v_2 = \frac{1}{18}$

2. Фактически ремонт продолжался 40 дней. Пусть первая бригада работала $d_1$ дней, а вторая — $d_2$ дней.
$d_1 + d_2 = 40$

3. За свое рабочее время $d_1$ первая бригада выполнила $\frac{2}{3}$ всей работы.
$v_1 \cdot d_1 = \frac{2}{3}$

4. Вторая бригада выполнила оставшуюся часть работы: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$v_2 \cdot d_2 = \frac{1}{3}$

5. Вторая бригада работает не более чем в два раза быстрее первой. Это можно записать как $v_2 \le 2v_1$. При этом в условии сказано "быстрее первой", что означает $v_2 > v_1$. Объединив эти два условия, получаем неравенство: $v_1 < v_2 \le 2v_1$.

Теперь приступим к решению системы. Из уравнений (3) и (4) выразим $d_1$ и $d_2$ через производительности:$d_1 = \frac{2}{3v_1}$ и $d_2 = \frac{1}{3v_2}$.Подставим эти выражения в уравнение (2):$\frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} = 40$Домножим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{v_2} = 120$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными $v_1$ и $v_2$:$v_1 + v_2 = \frac{1}{18}$$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{v_2} = 120$Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = \frac{1}{18} - v_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{2}{v_1} + \frac{1}{\frac{1}{18} - v_1} = 120$Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{2(\frac{1}{18} - v_1) + v_1}{v_1(\frac{1}{18} - v_1)} = 120$$\frac{\frac{2}{18} - 2v_1 + v_1}{\frac{v_1}{18} - v_1^2} = 120$$\frac{\frac{1}{9} - v_1}{\frac{v_1}{18} - v_1^2} = 120$$\frac{1}{9} - v_1 = 120 \left(\frac{v_1}{18} - v_1^2\right)$$\frac{1}{9} - v_1 = \frac{120}{18}v_1 - 120v_1^2$$\frac{1}{9} - v_1 = \frac{20}{3}v_1 - 120v_1^2$Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$120v_1^2 - v_1 - \frac{20}{3}v_1 + \frac{1}{9} = 0$$120v_1^2 - \frac{23}{3}v_1 + \frac{1}{9} = 0$Домножим все уравнение на 9, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:$1080v_1^2 - 69v_1 + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-69)^2 - 4 \cdot 1080 \cdot 1 = 4761 - 4320 = 441 = 21^2$.Найдем два возможных значения для $v_1$:$v_{1,1} = \frac{69 + 21}{2 \cdot 1080} = \frac{90}{2160} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24}$$v_{1,2} = \frac{69 - 21}{2 \cdot 1080} = \frac{48}{2160} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$

Теперь рассмотрим оба случая и проверим их на соответствие условию $v_1 < v_2 \le 2v_1$.

Случай 1: $v_1 = \frac{1}{24}$.Тогда $v_2 = \frac{1}{18} - v_1 = \frac{1}{18} - \frac{1}{24} = \frac{4-3}{72} = \frac{1}{72}$.В этом случае $v_2 = \frac{1}{72}$ и $v_1 = \frac{1}{24}$. Условие $v_2 > v_1$ не выполняется, так как $\frac{1}{72} < \frac{1}{24}$. Следовательно, это решение не подходит.

Случай 2: $v_1 = \frac{1}{45}$.Тогда $v_2 = \frac{1}{18} - v_1 = \frac{1}{18} - \frac{1}{45} = \frac{5-2}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$.Проверим условие $v_1 < v_2 \le 2v_1$:$\frac{1}{45} < \frac{1}{30} \le 2 \cdot \frac{1}{45}$.Сравним $\frac{1}{30}$ и $\frac{1}{45}$. Так как $30 < 45$, то $\frac{1}{30} > \frac{1}{45}$. Первое неравенство выполняется.Сравним $\frac{1}{30}$ и $2 \cdot \frac{1}{45} = \frac{2}{45}$. Приведем дроби к общему знаменателю 90: $\frac{3}{90} \le \frac{4}{90}$. Второе неравенство также выполняется.Это решение полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Итак, мы нашли производительности бригад: $v_1 = \frac{1}{45}$ и $v_2 = \frac{1}{30}$.Теперь определим, за сколько дней каждая бригада отремонтировала бы участок, работая в одиночку:Время для первой бригады: $t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/45} = 45$ дней.Время для второй бригады: $t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{1/30} = 30$ дней.

Ответ: первая бригада отремонтировала бы участок дороги за 45 дней, а вторая — за 30 дней.