Номер 7.48, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.48 По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело A отстояло от вершины на 60 м, а тело B — на 80 м. Через 3 с расстояние между A и B стало равным 70 м, а ещё через 2 с — 50 м. Найдите скорость движения каждого тела.

Введем декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла совпадала с началом координат (0,0). Пусть тело A движется вдоль оси OY, а тело B — вдоль оси OX. Поскольку тела движутся к вершине угла, их координаты будут уменьшаться.

Обозначим скорости тел как $v_A$ и $v_B$ соответственно.В начальный момент времени $t = 0$ координаты тел были:

• Тело A: $y_A(0) = 60$ м
• Тело B: $x_B(0) = 80$ м

Зависимость координат тел от времени $t$ можно описать следующими уравнениями:

$y_A(t) = 60 - v_A t$

$x_B(t) = 80 - v_B t$

Расстояние $d(t)$ между телами в любой момент времени $t$ находится по теореме Пифагора:

$d(t)^2 = x_B(t)^2 + y_A(t)^2 = (80 - v_B t)^2 + (60 - v_A t)^2$

Раскроем скобки в этом выражении:

$d(t)^2 = 80^2 - 2 \cdot 80 \cdot v_B t + (v_B t)^2 + 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot v_A t + (v_A t)^2$

$d(t)^2 = 6400 - 160v_B t + v_B^2 t^2 + 3600 - 120v_A t + v_A^2 t^2$

Сгруппируем члены по степеням $t$:

$d(t)^2 = (6400 + 3600) - (120v_A + 160v_B)t + (v_A^2 + v_B^2)t^2$

$d(t)^2 = 10000 - 40(3v_A + 4v_B)t + (v_A^2 + v_B^2)t^2$

Теперь используем данные из условия задачи для составления системы уравнений. Введем замены для упрощения: пусть $X = 3v_A + 4v_B$ и $Y = v_A^2 + v_B^2$. Тогда уравнение для расстояния примет вид:

$d(t)^2 = 10000 - 40Xt + Yt^2$

1. В момент времени $t_1 = 3$ с расстояние было $d_1 = 70$ м.

$70^2 = 10000 - 40X(3) + Y(3^2)$

$4900 = 10000 - 120X + 9Y$

$120X - 9Y = 10000 - 4900$

$120X - 9Y = 5100$

Разделим обе части на 3:

$40X - 3Y = 1700$ (Уравнение 1)

2. Еще через 2 с, то есть в момент времени $t_2 = 3 + 2 = 5$ с, расстояние стало $d_2 = 50$ м.

$50^2 = 10000 - 40X(5) + Y(5^2)$

$2500 = 10000 - 200X + 25Y$

$200X - 25Y = 10000 - 2500$

$200X - 25Y = 7500$

Разделим обе части на 25:

$8X - Y = 300$ (Уравнение 2)

Теперь решим систему двух линейных уравнений с переменными $X$ и $Y$. Из Уравнения 2 выразим $Y$:

$Y = 8X - 300$

Подставим это выражение в Уравнение 1:

$40X - 3(8X - 300) = 1700$

$40X - 24X + 900 = 1700$

$16X = 1700 - 900$

$16X = 800 \implies X = 50$

Теперь найдем $Y$:

$Y = 8(50) - 300 = 400 - 300 = 100$

Вернемся к исходным переменным $v_A$ и $v_B$:

$3v_A + 4v_B = X = 50$

$v_A^2 + v_B^2 = Y = 100$

Из первого уравнения выразим $v_B$ через $v_A$:

$4v_B = 50 - 3v_A \implies v_B = \frac{50 - 3v_A}{4}$

Подставим это во второе уравнение:

$v_A^2 + \left(\frac{50 - 3v_A}{4}\right)^2 = 100$

$v_A^2 + \frac{(50 - 3v_A)^2}{16} = 100$

$v_A^2 + \frac{2500 - 300v_A + 9v_A^2}{16} = 100$

Умножим обе части уравнения на 16:

$16v_A^2 + 2500 - 300v_A + 9v_A^2 = 1600$

$25v_A^2 - 300v_A + 900 = 0$

Разделим обе части на 25:

$v_A^2 - 12v_A + 36 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(v_A - 6)^2 = 0$

Отсюда находим скорость тела A:

$v_A = 6$ м/с.

Теперь найдем скорость тела B:

$v_B = \frac{50 - 3v_A}{4} = \frac{50 - 3 \cdot 6}{4} = \frac{50 - 18}{4} = \frac{32}{4} = 8$ м/с.

Ответ: Скорость тела A равна 6 м/с, скорость тела B равна 8 м/с.