Номер 7.49, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.49 В январе 2014 г. на счёт в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2014 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2015 г. на свой счёт ещё 18000 р., вкладчик пришёл в банк закрыть счёт в декабре 2015 г. и получил 44000 р. Какая сумма была положена на счёт первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ — первоначальная сумма, положенная на счёт в январе 2014 г. (в рублях).
• $r$ — годовая процентная ставка банка, выраженная в долях (например, 10% = 0.1).

Проанализируем условия задачи по шагам и составим систему уравнений.

1. В конце 2014 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Это означает, что проценты были начислены на первоначальную сумму $S$. Отсюда получаем первое уравнение:

$S \cdot r = 2000$

2. В начале 2015 г. на счёте была сумма $S$ плюс начисленные проценты, то есть $S + 2000$. Вкладчик добавил ещё 18 000 р. Таким образом, сумма, на которую начислялись проценты в 2015 году, составила:

$S_{2015} = (S + 2000) + 18000 = S + 20000$

3. В конце 2015 г. вкладчик закрыл счёт и получил 44 000 р. Эта сумма состоит из вклада на начало 2015 года и начисленных на него процентов. Это даёт нам второе уравнение:

$(S + 20000) \cdot (1 + r) = 44000$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} S \cdot r = 2000 \\ (S + 20000)(1 + r) = 44000 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $S$ через $r$: $S = \frac{2000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{2000}{r} + 20000)(1 + r) = 44000$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2000:

$(\frac{1}{r} + 10)(1 + r) = 22$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{1}{r} \cdot 1 + \frac{1}{r} \cdot r + 10 \cdot 1 + 10 \cdot r = 22$

$\frac{1}{r} + 1 + 10 + 10r = 22$

$\frac{1}{r} + 10r + 11 = 22$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{1}{r} + 10r - 11 = 0$

Умножим все члены уравнения на $r$ (поскольку процентная ставка $r \neq 0$):

$1 + 10r^2 - 11r = 0$

Запишем полученное квадратное уравнение в стандартном виде:

$10r^2 - 11r + 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 121 - 40 = 81$

Корни уравнения:

$r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{11 \pm 9}{20}$

Мы получили два возможных значения для $r$:

$r_1 = \frac{11 + 9}{20} = \frac{20}{20} = 1$

$r_2 = \frac{11 - 9}{20} = \frac{2}{20} = 0.1$

Математически задача имеет два решения. Рассмотрим каждое из них.

Решение 1

Возьмем значение $r_2 = 0.1$.

сколько процентов в год начисляет банк:

Ставка $r = 0.1$ соответствует $0.1 \cdot 100\% = 10\%$ годовых.

Какая сумма была положена на счёт первоначально:

Найдем $S$ из первого уравнения: $S = \frac{2000}{r} = \frac{2000}{0.1} = 20000$ р.

Проверка:
- Вклад: 20 000 р.
- Проценты за 2014 г.: $20000 \cdot 0.1 = 2000$ р. (верно)
- Сумма на начало 2015 г.: $20000 + 2000 + 18000 = 40000$ р.
- Сумма к получению в конце 2015 г.: $40000 \cdot (1 + 0.1) = 44000$ р. (верно)

Ответ: Первоначальная сумма 20 000 р., процентная ставка 10% годовых.

Решение 2

Возьмем значение $r_1 = 1$.

сколько процентов в год начисляет банк:

Ставка $r = 1$ соответствует $1 \cdot 100\% = 100\%$ годовых.

Какая сумма была положена на счёт первоначально:

Найдем $S$ из первого уравнения: $S = \frac{2000}{r} = \frac{2000}{1} = 2000$ р.

Проверка:
- Вклад: 2 000 р.
- Проценты за 2014 г.: $2000 \cdot 1 = 2000$ р. (верно)
- Сумма на начало 2015 г.: $2000 + 2000 + 18000 = 22000$ р.
- Сумма к получению в конце 2015 г.: $22000 \cdot (1 + 1) = 44000$ р. (верно)

Ответ: Первоначальная сумма 2 000 р., процентная ставка 100% годовых.