Номер 7.55, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.55 Имеется три слитка. Масса первого равна 5 кг, масса второго 3 кг, и каждый из них содержит 30 % меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56 % меди. Если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60 % меди. Каким будет процентное содержание меди в сплаве из всех трёх слитков?

Для решения задачи введем переменные для третьего, неизвестного, слитка: пусть его масса будет $m_3$ кг, а процентное содержание меди в нем $p_3$ (в долях от единицы). Масса меди в этом слитке равна произведению его массы на долю меди: $c_3 = m_3 \cdot p_3$.

Найдем массу меди в известных слитках:

Масса меди в первом слитке (масса 5 кг, 30% меди): $c_1 = 5 \cdot 0.30 = 1.5$ кг.

Масса меди во втором слитке (масса 3 кг, 30% меди): $c_2 = 3 \cdot 0.30 = 0.9$ кг.

Теперь используем условия о сплавах, чтобы составить систему уравнений. Процентное содержание вещества в сплаве равно отношению массы этого вещества к общей массе сплава.

1. Если первый слиток сплавить с третьим, получится слиток, содержащий 56% меди. Общая масса этого сплава равна $(5 + m_3)$ кг, а общая масса меди в нем — $(1.5 + c_3)$ кг. Составим уравнение:

$\frac{1.5 + m_3 \cdot p_3}{5 + m_3} = 0.56$

$1.5 + m_3 \cdot p_3 = 0.56(5 + m_3)$

$1.5 + m_3 \cdot p_3 = 2.8 + 0.56m_3$

Из этого уравнения выразим массу меди в третьем слитке ($c_3 = m_3 \cdot p_3$):

$m_3 \cdot p_3 = 1.3 + 0.56m_3$

2. Если второй слиток сплавить с третьим, получится слиток, содержащий 60% меди. Общая масса этого сплава — $(3 + m_3)$ кг, а общая масса меди — $(0.9 + c_3)$ кг. Составим второе уравнение:

$\frac{0.9 + m_3 \cdot p_3}{3 + m_3} = 0.60$

$0.9 + m_3 \cdot p_3 = 0.60(3 + m_3)$

$0.9 + m_3 \cdot p_3 = 1.8 + 0.60m_3$

Из этого уравнения также выразим массу меди в третьем слитке:

$m_3 \cdot p_3 = 0.9 + 0.60m_3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Приравняем правые части выражений для $m_3 \cdot p_3$:

$1.3 + 0.56m_3 = 0.9 + 0.60m_3$

Решим это уравнение относительно $m_3$:

$1.3 - 0.9 = 0.60m_3 - 0.56m_3$

$0.4 = 0.04m_3$

$m_3 = \frac{0.4}{0.04} = 10$ кг.

Масса третьего слитка — 10 кг. Теперь найдем массу меди в нем, подставив $m_3 = 10$ в любое из выражений для $m_3 \cdot p_3$. Возьмем второе:

$c_3 = 0.9 + 0.60 \cdot 10 = 0.9 + 6 = 6.9$ кг.

Теперь мы можем найти процентное содержание меди в сплаве из всех трёх слитков. Сначала найдем общую массу сплава и общую массу меди.

Общая масса всех трех слитков:

$M_{общ} = m_1 + m_2 + m_3 = 5 + 3 + 10 = 18$ кг.

Общая масса меди во всех трех слитках:

$C_{общ} = c_1 + c_2 + c_3 = 1.5 + 0.9 + 6.9 = 9.3$ кг.

Процентное содержание меди в итоговом сплаве равно отношению общей массы меди к общей массе сплава, умноженному на 100%:

$P_{общ} = \frac{C_{общ}}{M_{общ}} \cdot 100\% = \frac{9.3}{18} \cdot 100\% = \frac{93}{180} \cdot 100\% = \frac{31}{60} \cdot 100\% = \frac{310}{6}\% = \frac{155}{3}\% = 51\frac{2}{3}\%$.

Ответ: $51\frac{2}{3}\%$.