Номер 7.43, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.43 Две наборщицы напечатали текст рукописи за 6 ч. Если сначала первая наборщица напечатает половину рукописи, а затем вторая — оставшуюся часть, то на всю работу будет затрачено 12,5 ч. За какое время может выполнить всю работу каждая наборщица?

Обозначим время, за которое первая наборщица может выполнить всю работу самостоятельно, как $x$ часов, а время второй наборщицы — как $y$ часов.

Тогда производительность первой наборщицы составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второй — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Согласно первому условию, работая вместе, они напечатали рукопись за 6 часов. Их совместная производительность — это сумма их индивидуальных производительностей. Таким образом, можно составить первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 6 = 1$

Разделив обе части на 6, получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, первая наборщица, работая одна, напечатала половину рукописи. Время, затраченное ею, составляет $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}$ часов. Затем вторая наборщица напечатала вторую половину рукописи, затратив $\frac{1/2}{1/y} = \frac{y}{2}$ часов. Общее время составило 12,5 часов. Отсюда получаем второе уравнение:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 12.5$

Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x + y = 25$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\x + y = 25\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 25 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{25 - x} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(25-x)$:

$\frac{(25 - x) + x}{x(25 - x)} = \frac{1}{6}$

$\frac{25}{25x - x^2} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$25 \cdot 6 = 1 \cdot (25x - x^2)$

$150 = 25x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 25x + 150 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а их произведение равно 150. Подбором находим корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.

Теперь найдем соответствующие значения для $y$ для каждого из корней:

1. Если $x_1 = 10$, то $y_1 = 25 - 10 = 15$.

2. Если $x_2 = 15$, то $y_2 = 25 - 15 = 10$.

Оба варианта решения приводят к одному и тому же результату: время выполнения работы одной из наборщиц — 10 часов, а другой — 15 часов.

Ответ: Одна наборщица может выполнить всю работу за 10 часов, а другая — за 15 часов.