Номер 7.23, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.23 Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Для решения задачи примем весь объем земляных работ за 1 условную единицу.

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый (более быстрый) экскаватор может выполнить всю работу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

Согласно условию, второй экскаватор выполняет ту же работу на 4 часа дольше. Следовательно, его время работы составляет $(x+4)$ часов, а его производительность равна $\frac{1}{x+4}$.

Работая одновременно, два экскаватора выполняют весь объем работ за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:
$3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = \frac{12+3}{4} \text{ ч} = \frac{15}{4} \text{ ч}$.

При совместной работе производительности экскаваторов складываются. Общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

Также общая производительность может быть вычислена как отношение всего объема работы ко времени совместной работы:
$P_{общ} = \frac{1}{15/4} = \frac{4}{15}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$.

Решим это уравнение. Сначала приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+4)$:
$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$.

Применим правило пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x>0$, а значит знаменатели не равны нулю:
$15(2x+4) = 4(x^2+4x)$
$30x + 60 = 4x^2 + 16x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$
$4x^2 - 14x - 60 = 0$.

Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$2x^2 - 7x - 30 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь вычислим значения $x$:
$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 2} = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 2} = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Таким образом, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи.
Время работы первого, более быстрого, экскаватора составляет $x = 6$ часов.

Время работы второго экскаватора:
$x+4 = 6+4 = 10$ часов.

Ответ: первому экскаватору для выполнения работы требуется 6 часов, а второму — 10 часов.