Номер 7.21, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.21 Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Пусть $t$ часов — время, за которое первый комбайн может выполнить задание, работая один. Это искомая величина.

Согласно условию, первый комбайн выполняет задание на 5 часов скорее, чем второй. Следовательно, время, которое требуется второму комбайну для выполнения того же задания в одиночку, составляет $(t + 5)$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) — это часть задания, выполняемая за единицу времени. Примем всю работу за 1.

Тогда производительность первого комбайна равна $\frac{1}{t}$ (часть задания в час).

Производительность второго комбайна равна $\frac{1}{t+5}$ (часть задания в час).

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5}$.

В условии сказано, что, работая вместе, два комбайна выполняют задание за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ (часть задания в час).

Приравниваем выражения для совместной производительности и получаем уравнение: $$ \frac{1}{t} + \frac{1}{t+5} = \frac{1}{6} $$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t+5)$: $$ \frac{t+5+t}{t(t+5)} = \frac{1}{6} $$ $$ \frac{2t+5}{t^2+5t} = \frac{1}{6} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $$ 6(2t+5) = 1(t^2+5t) $$ $$ 12t + 30 = t^2 + 5t $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ t^2 + 5t - 12t - 30 = 0 $$ $$ t^2 - 7t - 30 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $$

Найдем корни уравнения: $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7+13}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7-13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Поскольку время $t$ не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое первый комбайн выполнит задание, работая один, равно 10 часам.

Ответ: 10 часов.