Номер 7.19, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.19 Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против течения — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Для решения этой задачи введем переменные:

• Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость моторной лодки.
• Пусть $y$ км/ч — это скорость течения реки.

Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + y)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - y)$ км/ч.

Сначала необходимо перевести время из минут в часы для удобства расчетов, так как расстояние дано в километрах, а скорость мы ищем в км/ч.

Время движения по течению:

$t_{по} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$.

Время движения против течения:

$t_{против} = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{4} \text{ ч} = \frac{5}{4} \text{ ч} = 1,25 \text{ ч}$.

Теперь воспользуемся основной формулой движения: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$). Из этой формулы выразим скорость: $v = \frac{S}{t}$.

Найдем скорость лодки по течению. Она прошла 9 км за 0,75 ч:

$v_{по} = x + y = \frac{9 \text{ км}}{0,75 \text{ ч}} = \frac{9}{3/4} \text{ км/ч} = 9 \cdot \frac{4}{3} \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Найдем скорость лодки против течения. Она прошла 10 км за 1,25 ч:

$v_{против} = x - y = \frac{10 \text{ км}}{1,25 \text{ ч}} = \frac{10}{5/4} \text{ км/ч} = 10 \cdot \frac{4}{5} \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases}$

Для решения системы сложим первое уравнение со вторым. Это позволит нам исключить переменную $y$ и найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 12 + 8$

$2x = 20$

$x = \frac{20}{2}$

$x = 10$

Итак, собственная скорость лодки составляет 10 км/ч.

Теперь подставим найденное значение $x = 10$ в любое из уравнений системы, например, в первое, чтобы найти скорость течения $y$:

$10 + y = 12$

$y = 12 - 10$

$y = 2$

Скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим результат:

• Скорость по течению: $10 + 2 = 12$ км/ч. Расстояние: $12 \text{ км/ч} \cdot 0,75 \text{ ч} = 9$ км. Верно.
• Скорость против течения: $10 - 2 = 8$ км/ч. Расстояние: $8 \text{ км/ч} \cdot 1,25 \text{ ч} = 10$ км. Верно.

Ответ: собственная скорость лодки — 10 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.