Номер 7.16, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.16 Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $v_1$ — скорость первого поезда в км/ч, а $v_2$ — скорость второго поезда в км/ч.

Из первого условия известно, что расстояние между городами составляет 700 км. Когда поезда отправляются одновременно навстречу друг другу, они встречаются через 5 часов. При движении навстречу скорости складываются, поэтому их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$5 \cdot (v_1 + v_2) = 700$

Разделим обе части уравнения на 5:

$v_1 + v_2 = 140$

Из второго условия известно, что если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через 2 часа после отправления первого поезда. Это означает, что первый поезд был в пути 2 часа, а второй поезд — $7 + 2 = 9$ часов.

За 2 часа первый поезд проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v_1$.

За 9 часов второй поезд проехал расстояние $S_2 = 9 \cdot v_2$.

Суммарное расстояние, которое они проехали до встречи, равно расстоянию между городами, то есть 700 км. Отсюда получаем второе уравнение:

$2v_1 + 9v_2 = 700$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ 2v_1 + 9v_2 = 700 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_1$ из первого уравнения:

$v_1 = 140 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(140 - v_2) + 9v_2 = 700$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_2$:

$280 - 2v_2 + 9v_2 = 700$

$7v_2 = 700 - 280$

$7v_2 = 420$

$v_2 = \frac{420}{7}$

$v_2 = 60$

Итак, скорость второго поезда равна 60 км/ч. Теперь найдем скорость первого поезда, подставив значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = 140 - 60 = 80$

Скорость первого поезда равна 80 км/ч.

Ответ: скорость первого поезда — 80 км/ч, скорость второго поезда — 60 км/ч.