Номер 7.9, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.9 Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 28$
$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, его стороны $a$ и $b$ связаны соотношением по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$, так как диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами-катетами $a$ и $b$. Согласно условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

Мы получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $a$ с противоположным знаком, то есть 14, а их произведение равно свободному члену, то есть 48. Подбором находим корни:
$a_1 = 6$
$a_2 = 8$

Теперь найдем вторую сторону $b$ для каждого из корней:
Если $a = 6$ см, то $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.

В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.