Номер 7.5, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.5 Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.

Обозначим два искомых натуральных числа как $x$ и $y$. Для определенности, пусть $x$ будет большее число, а $y$ — меньшее ($x > y$).

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: сумма двух натуральных чисел равна 50.

$x + y = 50$

Второе условие: их произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Это означает, что разность квадратов больше произведения на 11. Уравнение будет выглядеть так:

$x^2 - y^2 = xy + 11$

Теперь решим эту систему уравнений. Преобразуем левую часть второго уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x - y)(x + y) = xy + 11$

Из первого уравнения мы знаем, что $x + y = 50$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x - y) \cdot 50 = xy + 11$

Мы получили новую систему, с которой будем работать:

$\begin{cases} x + y = 50 \\ 50(x - y) = xy + 11 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 50 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$50(x - (50 - x)) = x(50 - x) + 11$

Упростим и решим полученное уравнение:

$50(x - 50 + x) = 50x - x^2 + 11$

$50(2x - 50) = 50x - x^2 + 11$

$100x - 2500 = 50x - x^2 + 11$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 100x - 50x - 2500 - 11 = 0$

$x^2 + 50x - 2511 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2511) = 2500 + 10044 = 12544$

Теперь найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$.

Вычислим возможные значения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 + 112}{2} = \frac{62}{2} = 31$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 - 112}{2} = \frac{-162}{2} = -81$

Так как по условию задачи числа натуральные (то есть, целые и положительные), корень $x_2 = -81$ не является решением. Следовательно, одно из чисел равно $x = 31$.

Найдем второе число $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 50 - x = 50 - 31 = 19$

Итак, искомые числа — 31 и 19.

Проверим найденные значения:

1. Сумма: $31 + 19 = 50$. Условие выполняется.

2. Произведение: $31 \cdot 19 = 589$.

3. Разность квадратов: $31^2 - 19^2 = 961 - 361 = 600$.

4. Разница между разностью квадратов и произведением: $600 - 589 = 11$. Условие выполняется.

Ответ: 19 и 31.