Номер 6.24, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.24 Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

a) $A(3; 13)$, $B(-7; -11)$, $C(10; 6);

б) $A(7; -7)$, $B(-2; -4)$, $C(6; 0).

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Поскольку все три заданные точки лежат на окружности, они находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Если обозначить центр окружности как $O(a; b)$, то квадраты расстояний от центра до каждой из точек равны квадрату радиуса: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = R^2$. Это позволяет составить систему уравнений для нахождения координат центра $(a; b)$.

а) Даны точки $A(3; 13)$, $B(-7; -11)$, $C(10; 6)$.

Составим систему уравнений, приравнивая квадраты расстояний.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(3 - a)^2 + (13 - b)^2 = (-7 - a)^2 + (-11 - b)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$9 - 6a + a^2 + 169 - 26b + b^2 = 49 + 14a + a^2 + 121 + 22b + b^2$

$178 - 6a - 26b = 170 + 14a + 22b$

$178 - 170 = 14a + 6a + 22b + 26b$

$8 = 20a + 48b$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$2 = 5a + 12b$

2. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$:

$(-7 - a)^2 + (-11 - b)^2 = (10 - a)^2 + (6 - b)^2$

$49 + 14a + a^2 + 121 + 22b + b^2 = 100 - 20a + a^2 + 36 - 12b + b^2$

$170 + 14a + 22b = 136 - 20a - 12b$

$14a + 20a + 22b + 12b = 136 - 170$

$34a + 34b = -34$

Разделим обе части уравнения на 34:

$a + b = -1$

3. Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} 5a + 12b = 2 \\ a + b = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = -1 - b$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5(-1 - b) + 12b = 2$

$-5 - 5b + 12b = 2$

$7b = 7$

$b = 1$

Теперь найдем $a$:

$a = -1 - 1 = -2$

Таким образом, центр окружности $O$ имеет координаты $(-2; 1)$.

4. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $A(3; 13)$ и центра $O(-2; 1)$:

$R^2 = (3 - (-2))^2 + (13 - 1)^2 = (3 + 2)^2 + 12^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

5. Запишем уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 169$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 169$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 169$.

б) Даны точки $A(7; -7)$, $B(-2; -4)$, $C(6; 0)$.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

1. Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(7 - a)^2 + (-7 - b)^2 = (-2 - a)^2 + (-4 - b)^2$

$49 - 14a + a^2 + 49 + 14b + b^2 = 4 + 4a + a^2 + 16 + 8b + b^2$

$98 - 14a + 14b = 20 + 4a + 8b$

$78 = 18a - 6b$

$13 = 3a - b$

2. Приравняем $OB^2$ и $OC^2$ (точка C удобна для вычислений, так как одна из координат равна нулю):

$(-2 - a)^2 + (-4 - b)^2 = (6 - a)^2 + (0 - b)^2$

$4 + 4a + a^2 + 16 + 8b + b^2 = 36 - 12a + a^2 + b^2$

$20 + 4a + 8b = 36 - 12a$

$16a + 8b = 16$

$2a + b = 2$

3. Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3a - b = 13 \\ 2a + b = 2 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $b$:

$(3a - b) + (2a + b) = 13 + 2$

$5a = 15$

$a = 3$

Подставим значение $a$ во второе уравнение, чтобы найти $b$:

$2(3) + b = 2$

$6 + b = 2$

$b = -4$

Центр окружности $O$ имеет координаты $(3; -4)$.

4. Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $C(6; 0)$ и центра $O(3; -4)$:

$R^2 = (6 - 3)^2 + (0 - (-4))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

5. Запишем уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$.