Номер 6.18, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.18 a) $\begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 + 2xy + y^2 = 1 - xy; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 6xy + 9y^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x + 2y = 2, \\ x^2 + 4y + 4y^2 = 2y + 4x. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ x^2 + 2xy + y^2 = 1 - xy; \end{cases}$

Заметим, что левая часть второго уравнения представляет собой формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Перепишем систему с учетом этого преобразования:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ (x+y)^2 = 1 - xy; \end{cases}$

Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:

$(-2)^2 = 1 - xy$

$4 = 1 - xy$

Выразим отсюда произведение $xy$:

$xy = 1 - 4$

$xy = -3$

Теперь мы имеем новую, более простую систему, равносильную исходной:

$\begin{cases} x + y = -2, \\ xy = -3. \end{cases}$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения:

$t^2 - (-2)t + (-3) = 0$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, разложением на множители:

$(t-1)(t+3) = 0$

Отсюда получаем корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения в двух возможных комбинациях.

Следовательно, решения системы — это пары чисел $(1, -3)$ и $(-3, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 4x^2 - 4xy + y^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

Левая часть второго уравнения является квадратом разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x-y)^2$.

Заменим левую часть второго уравнения на это выражение:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ (2x-y)^2 = 2x + 3y; \end{cases}$

Подставим значение $2x-y$ из первого уравнения во второе:

$3^2 = 2x + 3y$

$9 = 2x + 3y$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x - y = 3, \\ 2x + 3y = 9. \end{cases}$

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(2x + 3y) - (2x - y) = 9 - 3$

$4y = 6$

$y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы:

$2x - \frac{3}{2} = 3$

$2x = 3 + \frac{3}{2}$

$2x = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$x = \frac{9}{4}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{9}{4}, \frac{3}{2})$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 6xy + 9y^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2$.

Перепишем систему:

$\begin{cases} (x - 3y)^2 = x - y, \\ x - 3y = -1; \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$(-1)^2 = x - y$

$1 = x - y$

Получили систему двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 1, \\ x - 3y = -1. \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x - y) - (x - 3y) = 1 - (-1)$

$2y = 2$

$y = 1$

Подставим значение $y=1$ в уравнение $x-y=1$:

$x - 1 = 1$

$x = 2$

Таким образом, решением системы является пара $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ x^2 + 4xy + 4y^2 = 2y + 4x. \end{cases}$

Левая часть второго уравнения является формулой квадрата суммы: $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x+2y)^2$.

Запишем систему в новом виде:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ (x+2y)^2 = 4x + 2y. \end{cases}$

Подставим значение $x+2y$ из первого уравнения во второе:

$2^2 = 4x + 2y$

$4 = 4x + 2y$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$2 = 2x + y$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 2, \\ 2x + y = 2. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2 - 2x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 2(2 - 2x) = 2$

$x + 4 - 4x = 2$

$-3x = 2 - 4$

$-3x = -2$

$x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2 - 2x$:

$y = 2 - 2 \cdot \frac{2}{3} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.