Номер 6.13, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

6.13 a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ xy = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 2, \\ 9x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = 8; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ xy = 20. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{20}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 9$

$x^2 - \frac{400}{x^2} = 9$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 400 = 9x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 9x^2 - 400 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 9t - 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(-400) = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 41}{2}$

Получаем два корня для t:

$t_1 = \frac{9 + 41}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{9 - 41}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $t = x^2$, значение t не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -16$ является посторонним.

Возвращаемся к замене:

$x^2 = 25$

Отсюда находим значения x:

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = 2, \\ 9x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{2}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$9x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 13$

$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 13$

Умножим обе части на $x^2$:

$9x^4 + 4 = 13x^2$

Получим биквадратное уравнение:

$9x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$9t^2 - 13t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-13)^2 - 4(9)(4) = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$t = \frac{13 \pm 5}{18}$

$t_1 = \frac{13 + 5}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$t_2 = \frac{13 - 5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Оба корня положительные, поэтому рассматриваем оба случая.

Возвращаемся к замене:

Случай 1: $x^2 = 1$.

$x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$.

Если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$.

Случай 2: $x^2 = \frac{4}{9}$.

$x = \pm \frac{2}{3}$.

Если $x=\frac{2}{3}$, то $y = \frac{2}{2/3} = 3$.

Если $x=-\frac{2}{3}$, то $y = \frac{2}{-2/3} = -3$.

Система имеет четыре решения.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$, $(\frac{2}{3}, 3)$, $(-\frac{2}{3}, -3)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = 8. \end{cases}$

Эта система является симметрической. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 16$

Сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$(x^2 + y^2) + 2xy = 20 + 16$

$x^2 + 2xy + y^2 = 36$

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(x+y)^2 = 36$

Отсюда $x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Теперь вычтем уравнение $2xy=16$ из первого уравнения системы:

$(x^2 + y^2) - 2xy = 20 - 16$

$x^2 - 2xy + y^2 = 4$

Используя формулу квадрата разности, получаем:

$(x-y)^2 = 4$

Отсюда $x-y = 2$ или $x-y = -2$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x+y=6, \\ x-y=2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=8 \implies x=4$. Тогда $y=6-4=2$. Решение: $(4, 2)$.

2) $\begin{cases} x+y=6, \\ x-y=-2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=4 \implies x=2$. Тогда $y=6-2=4$. Решение: $(2, 4)$.

3) $\begin{cases} x+y=-6, \\ x-y=2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=-4 \implies x=-2$. Тогда $y=-6-(-2)=-4$. Решение: $(-2, -4)$.

4) $\begin{cases} x+y=-6, \\ x-y=-2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=-8 \implies x=-4$. Тогда $y=-6-(-4)=-2$. Решение: $(-4, -2)$.

Система имеет четыре решения.

Ответ: $(4, 2)$, $(2, 4)$, $(-2, -4)$, $(-4, -2)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{20}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$

$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$

Умножим обе части на $x^2$:

$2x^4 - 400 = 34x^2$

Получим биквадратное уравнение:

$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 17t - 200 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-17)^2 - 4(1)(-200) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$

$t = \frac{17 \pm 33}{2}$

$t_1 = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $t_2 = -8$ является посторонним, так как $t \ge 0$.

Возвращаемся к замене:

$x^2 = 25$

Отсюда $x = \pm 5$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$.