Номер 6.15, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.15 а) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 3y = 31, \\ x^2 + y^2 - 2x - y = 15; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 5x + y = 2, \\ 5y^2 + 5x^2 + x + 5y = 36; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 + 3x + y = 18, \\ x^2 - y^2 + x - y = 6. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменных $y$ и $y^2$:
$(x^2 + y^2 + x + y) + (2x^2 - y^2 + 2x - y) = 2 + 4$
$3x^2 + 3x = 6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 + x = 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 + y^2 + x + y = 2$.
1. При $x = 1$:
$1^2 + y^2 + 1 + y = 2$
$1 + y^2 + 1 + y = 2$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$. Получаем две пары решений: $(1, 0)$ и $(1, -1)$.
2. При $x = -2$:
$(-2)^2 + y^2 + (-2) + y = 2$
$4 + y^2 - 2 + y = 2$
$y^2 + y + 2 = 2$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$. Получаем еще две пары решений: $(-2, 0)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-2, -1)$.

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 3y = 31, \\ x^2 + y^2 - 2x - y = 15. \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от членов $x^2, y^2, -2x$:
$(x^2 + y^2 - 2x + 3y) - (x^2 + y^2 - 2x - y) = 31 - 15$
$3y - (-y) = 16$
$4y = 16$
$y = 4$
Подставим найденное значение $y=4$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 - 2x - y = 15$:
$x^2 + 4^2 - 2x - 4 = 15$
$x^2 + 16 - 2x - 4 = 15$
$x^2 - 2x + 12 = 15$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, получаем две пары решений.
Ответ: $(3, 4)$, $(-1, 4)$.

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 5x + y = 2, \\ 5y^2 + 5x^2 + x + 5y = 36. \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с коэффициентами во втором уравнении:
$5(x^2 + y^2 - 5x + y) = 5 \cdot 2$
$5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y = 10$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y = 10, \\ 5x^2 + 5y^2 + x + 5y = 36. \end{cases} $
Вычтем первое (преобразованное) уравнение из второго:
$(5x^2 + 5y^2 + x + 5y) - (5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y) = 36 - 10$
$x - (-25x) = 26$
$26x = 26$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение $x^2 + y^2 - 5x + y = 2$:
$1^2 + y^2 - 5(1) + y = 2$
$1 + y^2 - 5 + y = 2$
$y^2 + y - 4 = 2$
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(1, 2)$, $(1, -3)$.

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 + 3x + y = 18, \\ x^2 - y^2 + x - y = 6. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменных $y$ и $y^2$:
$(3x^2 + y^2 + 3x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$
$4x^2 + 4x = 24$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x^2 + x = 6$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ во второе уравнение исходной системы $x^2 - y^2 + x - y = 6$.
1. При $x = 2$:
$2^2 - y^2 + 2 - y = 6$
$4 - y^2 + 2 - y = 6$
$6 - y^2 - y = 6$
$-y^2 - y = 0$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$. Получаем две пары решений: $(2, 0)$ и $(2, -1)$.
2. При $x = -3$:
$(-3)^2 - y^2 + (-3) - y = 6$
$9 - y^2 - 3 - y = 6$
$6 - y^2 - y = 6$
$-y^2 - y = 0$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$. Получаем еще две пары решений: $(-3, 0)$ и $(-3, -1)$.
Ответ: $(2, 0)$, $(2, -1)$, $(-3, 0)$, $(-3, -1)$.