Номер 6.20, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

6.20 а) $\begin{cases} (x - 2)(y - 3) = 1, \\ \frac{x - 2}{y - 3} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x - 3)(y - 2) = 3, \\ \frac{y - 2}{x - 3} = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \frac{x + 1}{y - 3} = 1, \\ (x + 1)(y - 3) = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 3)(y - 1) = 8, \\ \frac{x + 3}{y - 1} = 2. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x-2)(y-3) = 1 \\ \frac{x-2}{y-3} = 1 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x-2$ и $b = y-3$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 1 \\ \frac{a}{b} = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $a = b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ b \cdot b = 1 \implies b^2 = 1 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 1$. Так как $a=b$, то $a = 1$.
2) $b = -1$. Так как $a=b$, то $a = -1$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x-2 = 1 \implies x = 3$; $y-3 = 1 \implies y = 4$. Получаем решение $(3; 4)$.
2) $x-2 = -1 \implies x = 1$; $y-3 = -1 \implies y = 2$. Получаем решение $(1; 2)$.

Ответ: $(3; 4), (1; 2)$.

б)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x-3)(y-2) = 3 \\ \frac{y-2}{x-3} = 3 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x-3$ и $b = y-2$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 3 \\ \frac{b}{a} = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $b = 3a$ (при условии $a \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ a \cdot (3a) = 3 \implies 3a^2 = 3 \implies a^2 = 1 $

Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
1) $a = 1$. Тогда $b = 3a = 3(1) = 3$.
2) $a = -1$. Тогда $b = 3a = 3(-1) = -3$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x-3 = 1 \implies x = 4$; $y-2 = 3 \implies y = 5$. Получаем решение $(4; 5)$.
2) $x-3 = -1 \implies x = 2$; $y-2 = -3 \implies y = -1$. Получаем решение $(2; -1)$.

Ответ: $(4; 5), (2; -1)$.

в)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x+1}{y-3} = 1 \\ (x+1)(y-3) = 4 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+1$ и $b = y-3$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} \frac{a}{b} = 1 \\ ab = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что $a = b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это во второе уравнение: $ b \cdot b = 4 \implies b^2 = 4 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 2$. Так как $a=b$, то $a = 2$.
2) $b = -2$. Так как $a=b$, то $a = -2$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x+1 = 2 \implies x = 1$; $y-3 = 2 \implies y = 5$. Получаем решение $(1; 5)$.
2) $x+1 = -2 \implies x = -3$; $y-3 = -2 \implies y = 1$. Получаем решение $(-3; 1)$.

Ответ: $(1; 5), (-3; 1)$.

г)

Решим систему уравнений: $ \begin{cases} (x+3)(y-1) = 8 \\ \frac{x+3}{y-1} = 2 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = x+3$ и $b = y-1$. Тогда система примет вид: $ \begin{cases} ab = 8 \\ \frac{a}{b} = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $a = 2b$ (при условии $b \neq 0$). Подставим это в первое уравнение: $ (2b) \cdot b = 8 \implies 2b^2 = 8 \implies b^2 = 4 $

Отсюда получаем два возможных значения для $b$:
1) $b = 2$. Тогда $a = 2b = 2(2) = 4$.
2) $b = -2$. Тогда $a = 2b = 2(-2) = -4$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
1) $x+3 = 4 \implies x = 1$; $y-1 = 2 \implies y = 3$. Получаем решение $(1; 3)$.
2) $x+3 = -4 \implies x = -7$; $y-1 = -2 \implies y = -1$. Получаем решение $(-7; -1)$.

Ответ: $(1; 3), (-7; -1)$.