Номер 6.22, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.22 a) $\begin{cases} (x + y)^2 + 2x = 35 - 2y, \\ (x - y)^2 - 2y = 3 - 2x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 12(x + y)^2 + x = 2,5 - y, \\ 6(x - y)^2 + x = 0,125 + y. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)^2 + 2x = 35 - 2y \\ (x - y)^2 - 2y = 3 - 2x \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение, перенеся все члены с переменными в левую часть.

Первое уравнение:

$ (x + y)^2 + 2x + 2y = 35 $

$ (x + y)^2 + 2(x + y) = 35 $

$ (x + y)^2 + 2(x + y) - 35 = 0 $

Второе уравнение:

$ (x - y)^2 + 2x - 2y = 3 $

$ (x - y)^2 + 2(x - y) = 3 $

$ (x - y)^2 + 2(x - y) - 3 = 0 $

Введем новые переменные. Пусть $ u = x + y $ и $ v = x - y $. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + 2u - 35 = 0 \\ v^2 + 2v - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение относительно $ u $. По теореме Виета, корни $ u_1 $ и $ u_2 $ удовлетворяют условиям $ u_1 + u_2 = -2 $ и $ u_1 \cdot u_2 = -35 $. Подбором находим корни $ u_1 = 5 $ и $ u_2 = -7 $.

Решим второе квадратное уравнение относительно $ v $. По теореме Виета, корни $ v_1 $ и $ v_2 $ удовлетворяют условиям $ v_1 + v_2 = -2 $ и $ v_1 \cdot v_2 = -3 $. Подбором находим корни $ v_1 = 1 $ и $ v_2 = -3 $.

Теперь задача сводится к решению четырех систем линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = 6 $, откуда $ x = 3 $. Подставив $ x = 3 $ в первое уравнение, получим $ 3 + y = 5 $, откуда $ y = 2 $. Решение: $ (3; 2) $.

2) $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = 2 $, откуда $ x = 1 $. Подставив $ x = 1 $ в первое уравнение, получим $ 1 + y = 5 $, откуда $ y = 4 $. Решение: $ (1; 4) $.

3) $ \begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = 1 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -6 $, откуда $ x = -3 $. Подставив $ x = -3 $ в первое уравнение, получим $ -3 + y = -7 $, откуда $ y = -4 $. Решение: $ (-3; -4) $.

4) $ \begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = -3 \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -10 $, откуда $ x = -5 $. Подставив $ x = -5 $ в первое уравнение, получим $ -5 + y = -7 $, откуда $ y = -2 $. Решение: $ (-5; -2) $.

Ответ: $ (3; 2), (1; 4), (-3; -4), (-5; -2) $.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 12(x + y)^2 + x = 2,5 - y \\ 6(x - y)^2 + x = 0,125 + y \end{cases} $

Преобразуем каждое уравнение, сгруппировав выражения с $ x $ и $ y $.

Первое уравнение:

$ 12(x + y)^2 + x + y = 2,5 $

$ 12(x + y)^2 + (x + y) - 2,5 = 0 $

Второе уравнение:

$ 6(x - y)^2 + x - y = 0,125 $

$ 6(x - y)^2 + (x - y) - 0,125 = 0 $

Введем новые переменные. Пусть $ u = x + y $ и $ v = x - y $. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} 12u^2 + u - 2,5 = 0 \\ 6v^2 + v - 0,125 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение относительно $ u $. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $ 24u^2 + 2u - 5 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = 2^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-5) = 4 + 480 = 484 = 22^2 $.

Корни: $ u = \frac{-2 \pm 22}{2 \cdot 24} = \frac{-2 \pm 22}{48} $.

$ u_1 = \frac{20}{48} = \frac{5}{12} $, $ u_2 = \frac{-24}{48} = -\frac{1}{2} $.

Решим второе уравнение относительно $ v $. Заменим $ 0,125 $ на $ \frac{1}{8} $ и умножим на 8: $ 48v^2 + 8v - 1 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = 8^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-1) = 64 + 192 = 256 = 16^2 $.

Корни: $ v = \frac{-8 \pm 16}{2 \cdot 48} = \frac{-8 \pm 16}{96} $.

$ v_1 = \frac{8}{96} = \frac{1}{12} $, $ v_2 = \frac{-24}{96} = -\frac{1}{4} $.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ x - y = \frac{1}{12} \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $, откуда $ x = \frac{1}{4} $. Тогда $ y = \frac{5}{12} - x = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Решение: $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{6}) $.

2) $ \begin{cases} x + y = \frac{5}{12} \\ x - y = -\frac{1}{4} \end{cases} $. Сложив уравнения ($-\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}$), получим $ 2x = \frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $, откуда $ x = \frac{1}{12} $. Тогда $ y = \frac{5}{12} - x = \frac{5}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $. Решение: $ (\frac{1}{12}; \frac{1}{3}) $.

3) $ \begin{cases} x + y = -\frac{1}{2} \\ x - y = \frac{1}{12} \end{cases} $. Сложив уравнения ($-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$), получим $ 2x = -\frac{6}{12} + \frac{1}{12} = -\frac{5}{12} $, откуда $ x = -\frac{5}{24} $. Тогда $ y = -\frac{1}{2} - x = -\frac{12}{24} - (-\frac{5}{24}) = -\frac{7}{24} $. Решение: $ (-\frac{5}{24}; -\frac{7}{24}) $.

4) $ \begin{cases} x + y = -\frac{1}{2} \\ x - y = -\frac{1}{4} \end{cases} $. Сложив уравнения, получим $ 2x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} $, откуда $ x = -\frac{3}{8} $. Тогда $ y = -\frac{1}{2} - x = -\frac{4}{8} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{8} $. Решение: $ (-\frac{3}{8}; -\frac{1}{8}) $.

Ответ: $ (\frac{1}{4}; \frac{1}{6}), (\frac{1}{12}; \frac{1}{3}), (-\frac{5}{24}; -\frac{7}{24}), (-\frac{3}{8}; -\frac{1}{8}) $.