Номер 6.21, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6.21 a) $\begin{cases} (x + 2y)^2 + (y - 2x)^2 = 90, \\ (x + 2y) + (y - 2x) = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 15, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 56; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 9, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 20; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + 2y)^2 + (y - 2x)^2 = 90, \\ (x + 2y) + (y - 2x) = 12; \end{cases} $

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $u = x + 2y$ и $v = y - 2x$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 90, \\ u + v = 12; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 12 - u$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^2 + (12 - u)^2 = 90$

$u^2 + 144 - 24u + u^2 = 90$

$2u^2 - 24u + 54 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$u^2 - 12u + 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $u_1$ и $u_2$ удовлетворяют условиям $u_1 + u_2 = 12$ и $u_1 \cdot u_2 = 27$. Легко подобрать корни: $u_1 = 3$ и $u_2 = 9$.

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого корня $u$:

1. Если $u_1 = 3$, то $v_1 = 12 - 3 = 9$.

2. Если $u_2 = 9$, то $v_2 = 12 - 9 = 3$.

У нас есть две пары значений $(u, v)$: $(3, 9)$ и $(9, 3)$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$ и решим две системы уравнений.

Случай 1: $u = 3, v = 9$.

$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y - 2x = 9; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 9 + 2x$ и подставим в первое:

$x + 2(9 + 2x) = 3$

$x + 18 + 4x = 3$

$5x = -15 \implies x = -3$

Тогда $y = 9 + 2(-3) = 9 - 6 = 3$.

Первое решение: $(-3, 3)$.

Случай 2: $u = 9, v = 3$.

$ \begin{cases} x + 2y = 9, \\ y - 2x = 3; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y = 3 + 2x$ и подставим в первое:

$x + 2(3 + 2x) = 9$

$x + 6 + 4x = 9$

$5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$

Тогда $y = 3 + 2(\frac{3}{5}) = 3 + \frac{6}{5} = \frac{15+6}{5} = \frac{21}{5}$.

Второе решение: $(\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

Ответ: $(-3, 3), (\frac{3}{5}, \frac{21}{5})$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 15, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 56; \end{cases} $

Область допустимых значений: $y \neq 0$.
Преобразуем второе уравнение: $(x+y) \cdot \frac{x}{y} = 56$.
Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = \frac{x}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 15, \\ u \cdot v = 56; \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 15t + 56 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1$.
$t_1 = \frac{15 - 1}{2} = 7$, $t_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8$.
Следовательно, у нас есть две возможные пары $(u, v)$: $(7, 8)$ и $(8, 7)$.

Случай 1: $u = 7, v = 8$.

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ \frac{x}{y} = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 8y$. Подставляем в первое:

$8y + y = 7 \implies 9y = 7 \implies y = \frac{7}{9}$.

Тогда $x = 8 \cdot \frac{7}{9} = \frac{56}{9}$.

Первое решение: $(\frac{56}{9}, \frac{7}{9})$.

Случай 2: $u = 8, v = 7$.

$ \begin{cases} x + y = 8, \\ \frac{x}{y} = 7; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 7y$. Подставляем в первое:

$7y + y = 8 \implies 8y = 8 \implies y = 1$.

Тогда $x = 7 \cdot 1 = 7$.

Второе решение: $(7, 1)$.

Ответ: $(\frac{56}{9}, \frac{7}{9}), (7, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \frac{x}{y} = 9, \\ \frac{(x + y)x}{y} = 20; \end{cases} $

Область допустимых значений: $y \neq 0$.
Как и в предыдущем задании, введем замену: $u = x+y$ и $v = \frac{x}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 9, \\ u \cdot v = 20; \end{cases} $

$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 20 = 0$.
По теореме Виета подбираем корни: $t_1 = 4$, $t_2 = 5$.
Следовательно, у нас есть две возможные пары $(u, v)$: $(4, 5)$ и $(5, 4)$.

Случай 1: $u = 4, v = 5$.

$ \begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{x}{y} = 5; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 5y$. Подставляем в первое:

$5y + y = 4 \implies 6y = 4 \implies y = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Тогда $x = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$.

Первое решение: $(\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$.

Случай 2: $u = 5, v = 4$.

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ \frac{x}{y} = 4; \end{cases} $

Из второго уравнения $x = 4y$. Подставляем в первое:

$4y + y = 5 \implies 5y = 5 \implies y = 1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$.

Второе решение: $(4, 1)$.

Ответ: $(\frac{10}{3}, \frac{2}{3}), (4, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 16; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.
Второе уравнение можно разложить по формуле разности квадратов: $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$.
Подставим в это уравнение значение $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})$ из первого уравнения системы:

$16 = 2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

Отсюда находим, что $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{16}{2} = 8$.

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 8; \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 2 + 8$

$\frac{2}{x} = 10 \implies \frac{1}{x} = 5 \implies x = \frac{1}{5}$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = 8 - 2$

$\frac{2}{y} = 6 \implies \frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$.

Таким образом, решение системы: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{1}{5}, \frac{1}{3})$.