Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

6.13 a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ xy = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 2, \\ 9x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = 8; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 9, \\ xy = 20. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{20}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 9$

$x^2 - \frac{400}{x^2} = 9$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 400 = 9x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$x^4 - 9x^2 - 400 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 9t - 400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(-400) = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 41}{2}$

Получаем два корня для t:

$t_1 = \frac{9 + 41}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{9 - 41}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Так как $t = x^2$, значение t не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -16$ является посторонним.

Возвращаемся к замене:

$x^2 = 25$

Отсюда находим значения x:

$x_1 = 5$, $x_2 = -5$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = 2, \\ 9x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{2}{x}$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$9x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 13$

$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 13$

Умножим обе части на $x^2$:

$9x^4 + 4 = 13x^2$

Получим биквадратное уравнение:

$9x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$9t^2 - 13t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-13)^2 - 4(9)(4) = 169 - 144 = 25 = 5^2$

$t = \frac{13 \pm 5}{18}$

$t_1 = \frac{13 + 5}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$t_2 = \frac{13 - 5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Оба корня положительные, поэтому рассматриваем оба случая.

Возвращаемся к замене:

Случай 1: $x^2 = 1$.

$x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$.

Если $x=-1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$.

Случай 2: $x^2 = \frac{4}{9}$.

$x = \pm \frac{2}{3}$.

Если $x=\frac{2}{3}$, то $y = \frac{2}{2/3} = 3$.

Если $x=-\frac{2}{3}$, то $y = \frac{2}{-2/3} = -3$.

Система имеет четыре решения.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$, $(\frac{2}{3}, 3)$, $(-\frac{2}{3}, -3)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = 8. \end{cases}$

Эта система является симметрической. Умножим второе уравнение на 2:

$2xy = 16$

Сложим это уравнение с первым уравнением системы:

$(x^2 + y^2) + 2xy = 20 + 16$

$x^2 + 2xy + y^2 = 36$

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(x+y)^2 = 36$

Отсюда $x+y = 6$ или $x+y = -6$.

Теперь вычтем уравнение $2xy=16$ из первого уравнения системы:

$(x^2 + y^2) - 2xy = 20 - 16$

$x^2 - 2xy + y^2 = 4$

Используя формулу квадрата разности, получаем:

$(x-y)^2 = 4$

Отсюда $x-y = 2$ или $x-y = -2$.

Теперь решим четыре системы линейных уравнений:

1) $\begin{cases} x+y=6, \\ x-y=2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=8 \implies x=4$. Тогда $y=6-4=2$. Решение: $(4, 2)$.

2) $\begin{cases} x+y=6, \\ x-y=-2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=4 \implies x=2$. Тогда $y=6-2=4$. Решение: $(2, 4)$.

3) $\begin{cases} x+y=-6, \\ x-y=2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=-4 \implies x=-2$. Тогда $y=-6-(-2)=-4$. Решение: $(-2, -4)$.

4) $\begin{cases} x+y=-6, \\ x-y=-2. \end{cases}$ Складывая уравнения, получаем $2x=-8 \implies x=-4$. Тогда $y=-6-(-4)=-2$. Решение: $(-4, -2)$.

Система имеет четыре решения.

Ответ: $(4, 2)$, $(2, 4)$, $(-2, -4)$, $(-4, -2)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34, \\ xy = 20. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x (при условии, что $x \ne 0$):

$y = \frac{20}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$

$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$

Умножим обе части на $x^2$:

$2x^4 - 400 = 34x^2$

Получим биквадратное уравнение:

$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 17t - 200 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-17)^2 - 4(1)(-200) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$

$t = \frac{17 \pm 33}{2}$

$t_1 = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $t_2 = -8$ является посторонним, так как $t \ge 0$.

Возвращаемся к замене:

$x^2 = 25$

Отсюда $x = \pm 5$.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{20}{x}$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(5, 4)$, $(-5, -4)$.

6.14 a) $\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90; \end{cases}$

B) $\begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2. \end{cases}$

а) $$ \begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27; \end{cases} $$ Из второго уравнения системы выразим $x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y$ должен быть положительным ($y > 0$).
$x^2 = \frac{27}{y}$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$\frac{27}{y} - 2y = 3$
Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):
$27 - 2y^2 = 3y$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2y^2 + 3y - 27 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2$
$y_1 = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
$y_2 = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Так как мы установили, что $y > 0$, корень $y_1 = -4.5$ является посторонним.
Рассмотрим $y = 3$. Найдем соответствующие значения $x$:
$x^2 = \frac{27}{3} = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3; 3), (-3; 3)$.

б) $$ \begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90; \end{cases} $$ Во втором уравнении вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 + y) = 90$
Из первого уравнения известно, что $x^2 + y = 10$. Подставим это значение во второе уравнение:
$x^2 \cdot 10 = 90$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя первое уравнение $y = 10 - x^2$:
$y = 10 - 9 = 1$.
Значение $y$ одинаково для обоих значений $x$.
Ответ: $(3; 1), (-3; 1)$.

в) $$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y^2$:
$y^2 = 2 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(2 - x) + x^2 = 3$
$4 - 2x + x^2 = 3$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.
Теперь найдем $y$. Подставим значение $x$ в выражение для $y^2$:
$y^2 = 2 - 1 = 1$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Получаем два решения.
Ответ: $(1; 1), (1; -1)$.

г) $$ \begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases} $$ Из второго уравнения видно, что $x$ и $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y^2$:
$y^2 = \frac{2}{x}$
Так как $y^2 \ge 0$, то и $\frac{2}{x} > 0$, что означает $x > 0$.
Подставим выражение для $y^2$ в первое уравнение, предварительно представив его как $x^2 + (y^2)^2 = 5$:
$x^2 + (\frac{2}{x})^2 = 5$
$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.
$t + \frac{4}{t} = 5$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 4 = 5t$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t>0$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 1$. Так как $x > 0$, то $x = 1$.
Тогда $y^2 = \frac{2}{1} = 2$, откуда $y = \pm\sqrt{2}$.
Получаем два решения: $(1; \sqrt{2})$ и $(1; -\sqrt{2})$.
2) $x^2 = 4$. Так как $x > 0$, то $x = 2$.
Тогда $y^2 = \frac{2}{2} = 1$, откуда $y = \pm 1$.
Получаем еще два решения: $(2; 1)$ и $(2; -1)$.
Всего система имеет четыре решения.
Ответ: $(1; \sqrt{2}), (1; -\sqrt{2}), (2; 1), (2; -1)$.

6.15 а) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 3y = 31, \\ x^2 + y^2 - 2x - y = 15; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 5x + y = 2, \\ 5y^2 + 5x^2 + x + 5y = 36; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 + 3x + y = 18, \\ x^2 - y^2 + x - y = 6. \end{cases} $

а) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменных $y$ и $y^2$:
$(x^2 + y^2 + x + y) + (2x^2 - y^2 + 2x - y) = 2 + 4$
$3x^2 + 3x = 6$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 + x = 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 + y^2 + x + y = 2$.
1. При $x = 1$:
$1^2 + y^2 + 1 + y = 2$
$1 + y^2 + 1 + y = 2$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$. Получаем две пары решений: $(1, 0)$ и $(1, -1)$.
2. При $x = -2$:
$(-2)^2 + y^2 + (-2) + y = 2$
$4 + y^2 - 2 + y = 2$
$y^2 + y + 2 = 2$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$. Получаем еще две пары решений: $(-2, 0)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(1, -1)$, $(-2, 0)$, $(-2, -1)$.

б) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x + 3y = 31, \\ x^2 + y^2 - 2x - y = 15. \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от членов $x^2, y^2, -2x$:
$(x^2 + y^2 - 2x + 3y) - (x^2 + y^2 - 2x - y) = 31 - 15$
$3y - (-y) = 16$
$4y = 16$
$y = 4$
Подставим найденное значение $y=4$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 - 2x - y = 15$:
$x^2 + 4^2 - 2x - 4 = 15$
$x^2 + 16 - 2x - 4 = 15$
$x^2 - 2x + 12 = 15$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, получаем две пары решений.
Ответ: $(3, 4)$, $(-1, 4)$.

в) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 5x + y = 2, \\ 5y^2 + 5x^2 + x + 5y = 36. \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с коэффициентами во втором уравнении:
$5(x^2 + y^2 - 5x + y) = 5 \cdot 2$
$5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y = 10$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} 5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y = 10, \\ 5x^2 + 5y^2 + x + 5y = 36. \end{cases} $
Вычтем первое (преобразованное) уравнение из второго:
$(5x^2 + 5y^2 + x + 5y) - (5x^2 + 5y^2 - 25x + 5y) = 36 - 10$
$x - (-25x) = 26$
$26x = 26$
$x = 1$
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение $x^2 + y^2 - 5x + y = 2$:
$1^2 + y^2 - 5(1) + y = 2$
$1 + y^2 - 5 + y = 2$
$y^2 + y - 4 = 2$
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(1, 2)$, $(1, -3)$.

г) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x^2 + y^2 + 3x + y = 18, \\ x^2 - y^2 + x - y = 6. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы избавиться от переменных $y$ и $y^2$:
$(3x^2 + y^2 + 3x + y) + (x^2 - y^2 + x - y) = 18 + 6$
$4x^2 + 4x = 24$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x^2 + x = 6$
$x^2 + x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив каждое значение $x$ во второе уравнение исходной системы $x^2 - y^2 + x - y = 6$.
1. При $x = 2$:
$2^2 - y^2 + 2 - y = 6$
$4 - y^2 + 2 - y = 6$
$6 - y^2 - y = 6$
$-y^2 - y = 0$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$. Получаем две пары решений: $(2, 0)$ и $(2, -1)$.
2. При $x = -3$:
$(-3)^2 - y^2 + (-3) - y = 6$
$9 - y^2 - 3 - y = 6$
$6 - y^2 - y = 6$
$-y^2 - y = 0$
$y^2 + y = 0$
$y(y+1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$. Получаем еще две пары решений: $(-3, 0)$ и $(-3, -1)$.
Ответ: $(2, 0)$, $(2, -1)$, $(-3, 0)$, $(-3, -1)$.

6.16 а) $\begin{cases} (x+y)^2 - (x-y) - 8 = 0, \\ (x+y)^2 + (x-y) - 10 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, \\ x - y = 6; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x + y + (x - 2y)^2 = 3, \\ x^2 - 4xy + 4y^2 = 9 - 3(2x + y); \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{17}{4}, \\ x + y = 10. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x + y)^2 - (x - y) - 8 = 0, \\ (x + y)^2 + (x - y) - 10 = 0; \end{cases} $$

Это система нелинейных уравнений. Для ее решения удобно использовать метод введения новых переменных. Пусть $u = (x + y)^2$ и $v = x - y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u - v - 8 = 0, \\ u + v - 10 = 0; \end{cases} $$

Мы получили систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $v$:

$(u - v - 8) + (u + v - 10) = 0$

$2u - 18 = 0$

$2u = 18$

$u = 9$

Теперь подставим найденное значение $u = 9$ в любое из уравнений системы для $u$ и $v$, например, во второе:

$9 + v - 10 = 0$

$v - 1 = 0$

$v = 1$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = (x + y)^2 = 9$

$v = x - y = 1$

Из уравнения $(x + y)^2 = 9$ следует, что $x + y$ может быть равно $3$ или $-3$. Это дает нам два случая.

Случай 1:

$$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 1; \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = 3 + 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

Подставим $x = 2$ в первое уравнение: $2 + y = 3 \implies y = 1$.

Первое решение: $(2, 1)$.

Случай 2:

$$ \begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 1; \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(x + y) + (x - y) = -3 + 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.

Подставим $x = -1$ в первое уравнение: $-1 + y = -3 \implies y = -2$.

Второе решение: $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3}, \\ x - y = 6; \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Введем замену $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$, и уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $3t$ (это возможно, так как из ОДЗ следует, что $t \neq 0$):

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь вернемся к замене $t = \frac{x}{y}$ и рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 3 \implies x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x - y = 6$:

$3y - y = 6$

$2y = 6$

$y = 3$

Тогда $x = 3y = 3 \cdot 3 = 9$. Получаем решение $(9, 3)$, которое удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x - y = 6$:

$x - 3x = 6$

$-2x = 6$

$x = -3$

Тогда $y = 3x = 3 \cdot (-3) = -9$. Получаем решение $(-3, -9)$, которое также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(9, 3), (-3, -9)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y + (x - 2y)^2 = 3, \\ x^2 - 4xy + 4y^2 = 9 - 3(2x + y); \end{cases} $$

Заметим, что выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ в левой части второго уравнения является полным квадратом разности: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.

Тогда второе уравнение можно переписать в виде:

$(x - 2y)^2 = 9 - 3(2x + y)$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} 2x + y + (x - 2y)^2 = 3, \\ (x - 2y)^2 = 9 - 3(2x + y); \end{cases} $$

В системе присутствуют повторяющиеся выражения. Введем новые переменные: пусть $u = 2x + y$ и $v = (x - 2y)^2$. Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} u + v = 3, \\ v = 9 - 3u; \end{cases} $$

Подставим выражение для $v$ из второго уравнения в первое:

$u + (9 - 3u) = 3$

$-2u = 3 - 9$

$-2u = -6$

$u = 3$

Теперь найдем $v$: $v = 9 - 3u = 9 - 3(3) = 9 - 9 = 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$u = 2x + y = 3$

$v = (x - 2y)^2 = 0$

Из уравнения $(x - 2y)^2 = 0$ следует, что $x - 2y = 0$, откуда $x = 2y$.

Подставим это соотношение в уравнение $2x + y = 3$:

$2(2y) + y = 3$

$4y + y = 3$

$5y = 3 \implies y = \frac{3}{5}$

Найдем $x$: $x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$.

Ответ: $(\frac{6}{5}, \frac{3}{5})$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{17}{4}, \\ x + y = 10; \end{cases} $$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Как и в задаче б), введем замену $t = \frac{x}{y}$ в первом уравнении:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (где $t \neq 0$):

$4t^2 + 4 = 17t$

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$t_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$4y + y = 10$

$5y = 10 \implies y = 2$

Тогда $x = 4y = 4 \cdot 2 = 8$. Получаем решение $(8, 2)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{4} \implies y = 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x + y = 10$:

$x + 4x = 10$

$5x = 10 \implies x = 2$

Тогда $y = 4x = 4 \cdot 2 = 8$. Получаем решение $(2, 8)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, 2), (2, 8)$.

6.17 а) $\begin{cases}x^2 - 3x - 2y = 4, \\x^2 + x - 3y = 18;\end{cases}$

б) $\begin{cases}xy + x = 56, \\xy + y = 54;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x^2 + 2x + 3y = 3, \\x^2 + x + 2y = 4;\end{cases}$

г) $\begin{cases}3x - xy = 10, \\y + xy = 6.\end{cases}$

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3x - 2y = 4 \\ x^2 + x - 3y = 18 \end{cases} $
Для решения вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить член $x^2$.
$(x^2 + x - 3y) - (x^2 - 3x - 2y) = 18 - 4$
$x^2 + x - 3y - x^2 + 3x + 2y = 14$
$4x - y = 14$
Из этого линейного уравнения выразим $y$:
$y = 4x - 14$
Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое исходное уравнение:
$x^2 - 3x - 2(4x - 14) = 4$
$x^2 - 3x - 8x + 28 = 4$
$x^2 - 11x + 24 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя корни. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = 8$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 4(3) - 14 = 12 - 14 = -2$.
Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 4(8) - 14 = 32 - 14 = 18$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -2)$, $(8, 18)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $xy$:
$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$
$x - y = 2$
Выразим $x$ через $y$:
$x = y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(y + 2)y + y = 54$
$y^2 + 2y + y = 54$
$y^2 + 3y - 54 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$y_1 = 6$, $y_2 = -9$
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(8, 6)$, $(-7, -9)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 2x + 3y = 3 \\ x^2 + x + 2y = 4 \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $x^2$:
$(x^2 + 2x + 3y) - (x^2 + x + 2y) = 3 - 4$
$x + y = -1$
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x - 1$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 + x + 2(-x - 1) = 4$
$x^2 + x - 2x - 2 = 4$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = -3 - 1 = -4$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -(-2) - 1 = 2 - 1 = 1$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, -4)$, $(-2, 1)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - xy = 10 \\ y + xy = 6 \end{cases} $
Сложим оба уравнения, чтобы исключить член $xy$:
$(3x - xy) + (y + xy) = 10 + 6$
$3x + y = 16$
Выразим $y$ через $x$:
$y = 16 - 3x$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(16 - 3x) + x(16 - 3x) = 6$
$16 - 3x + 16x - 3x^2 = 6$
$-3x^2 + 13x + 16 - 6 = 0$
$-3x^2 + 13x + 10 = 0$
Умножим обе части на -1 для удобства:
$3x^2 - 13x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4(3)(-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 16 - 3(5) = 16 - 15 = 1$.
Если $x_2 = -\frac{2}{3}$, то $y_2 = 16 - 3(-\frac{2}{3}) = 16 + 2 = 18$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 1)$, $(-\frac{2}{3}, 18)$.