Страница 37, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений методом замены переменных:

6.9 а) $ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 2, \\ 2x + y = 3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x - y)^2 = -2, \\ 2x + 7y = -5; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 5 \cdot \frac{x}{y} + \left(\frac{x}{y}\right)^2 = 14, \\ 5x + 3y = 13; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 4(x + y)^2 - 7(x + y) = 15, \\ 5x - 2y = 1. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2y^2 + xy = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = xy$. Первое уравнение системы примет вид:
$t^2 + t = 2$
$t^2 + t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Теперь вернемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $xy = -2$. С учетом второго уравнения исходной системы $2x + y = 3$, получаем систему:
$ \begin{cases} xy = -2 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - 2x$. Подставим в первое уравнение:
$x(3 - 2x) = -2$
$3x - 2x^2 = -2$
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = -1/2$, $y_1 = 3 - 2(-1/2) = 3 + 1 = 4$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$.
Получили две пары решений: $(-1/2, 4)$ и $(2, -1)$.
2) $xy = 1$. С учетом второго уравнения исходной системы $2x + y = 3$, получаем систему:
$ \begin{cases} xy = 1 \\ 2x + y = 3 \end{cases} $
$y = 3 - 2x$. Подставим в первое уравнение:
$x(3 - 2x) = 1$
$3x - 2x^2 = 1$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$x_3 = \frac{3 - \sqrt{1}}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$
$x_4 = \frac{3 + \sqrt{1}}{4} = \frac{3 + 1}{4} = 1$
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_3 = 1/2$, $y_3 = 3 - 2(1/2) = 3 - 1 = 2$.
При $x_4 = 1$, $y_4 = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$.
Получили еще две пары решений: $(1/2, 2)$ и $(1, 1)$.
Ответ: $(-1/2, 4)$, $(2, -1)$, $(1/2, 2)$, $(1, 1)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3(x - y) - 2(x - y)^2 = -2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = x - y$. Первое уравнение системы примет вид:
$3t - 2t^2 = -2$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{3 + 5}{4} = 2$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x - y = -1/2$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x - y = -1/2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Из первого уравнения $x = y - 1/2$. Подставим во второе:
$2(y - 1/2) + 7y = -5$
$2y - 1 + 7y = -5$
$9y = -4 \Rightarrow y = -4/9$
$x = -4/9 - 1/2 = -8/18 - 9/18 = -17/18$.
Решение: $(-17/18, -4/9)$.
2) $x - y = 2$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + 7y = -5 \end{cases} $
Из первого уравнения $x = y + 2$. Подставим во второе:
$2(y + 2) + 7y = -5$
$2y + 4 + 7y = -5$
$9y = -9 \Rightarrow y = -1$
$x = -1 + 2 = 1$.
Решение: $(1, -1)$.
Ответ: $(-17/18, -4/9)$, $(1, -1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 5 \cdot \frac{x}{y} + (\frac{x}{y})^2 = 14 \\ 5x + 3y = 13 \end{cases} $
ОДЗ: $y \ne 0$. Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Первое уравнение примет вид:
$5t + t^2 = 14$
$t^2 + 5t - 14 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x/y = -7 \Rightarrow x = -7y$. Подставим во второе уравнение системы:
$5(-7y) + 3y = 13$
$-35y + 3y = 13$
$-32y = 13 \Rightarrow y = -13/32$
$x = -7(-13/32) = 91/32$.
Решение: $(91/32, -13/32)$.
2) $x/y = 2 \Rightarrow x = 2y$. Подставим во второе уравнение системы:
$5(2y) + 3y = 13$
$10y + 3y = 13$
$13y = 13 \Rightarrow y = 1$
$x = 2(1) = 2$.
Решение: $(2, 1)$.
Ответ: $(91/32, -13/32)$, $(2, 1)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 4(x + y)^2 - 7(x + y) = 15 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Введем новую переменную $t = x + y$. Первое уравнение примет вид:
$4t^2 - 7t = 15$
$4t^2 - 7t - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 240 = 289$
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{289}}{8} = \frac{7 - 17}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{289}}{8} = \frac{7 + 17}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Возвращаемся к исходным переменным. Получаем два случая:
1) $x + y = -5/4$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x + y = -5/4 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Из первого уравнения $y = -x - 5/4$. Подставим во второе:
$5x - 2(-x - 5/4) = 1$
$5x + 2x + 5/2 = 1$
$7x = 1 - 5/2 = -3/2 \Rightarrow x = -3/14$
$y = -(-3/14) - 5/4 = 3/14 - 5/4 = 6/28 - 35/28 = -29/28$.
Решение: $(-3/14, -29/28)$.
2) $x + y = 3$. Составим систему со вторым уравнением:
$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases} $
Из первого уравнения $y = 3 - x$. Подставим во второе:
$5x - 2(3 - x) = 1$
$5x - 6 + 2x = 1$
$7x = 7 \Rightarrow x = 1$
$y = 3 - 1 = 2$.
Решение: $(1, 2)$.
Ответ: $(-3/14, -29/28)$, $(1, 2)$.

6.10 a) $\begin{cases} xy(x + y) = 6, \\ xy + (x + y) = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3(x - y)^2 + 2(x + 2y)^2 = 5, \\ 2(x + 2y) - x + y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \\ xy(x + y) = 12; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \\ 3(x + 2y) - 2x - 2y = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy(x + y) = 6, \\ xy + (x + y) = 5; \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $u = xy$ и $v = x + y$.

Тогда система примет вид:

$\begin{cases} uv = 6, \\ u + v = 5. \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, разложив его на множители:

$t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это дает нам две возможные системы для $u$ и $v$:

1) $u = 2, v = 3$

2) $u = 3, v = 2$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

Возвращаемся к исходным переменным: $xy = 2$ и $x + y = 3$.

Снова применяя обратную теорему Виета, находим, что $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 3z + 2 = 0$.

Разложим на множители: $(z - 1)(z - 2) = 0$.

Корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 2$.

Следовательно, решениями являются пары чисел $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $xy = 3$ и $x + y = 2$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 2z + 3 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственными действительными решениями исходной системы являются пары, найденные в первом случае.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(x - y)^2 + 2(x + 2y)^2 = 5, \\ 2(x + 2y) - x + y = 1; \end{cases}$

Введем замену переменных для упрощения системы: пусть $u = x - y$ и $v = x + 2y$.

Первое уравнение принимает вид: $3u^2 + 2v^2 = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Раскроем скобки: $2x + 4y - x + y = 1$, что упрощается до $x + 5y = 1$.

Теперь выразим $x$ и $y$ через $u$ и $v$. Из системы $\begin{cases} x - y = u \\ x + 2y = v \end{cases}$ вычтем первое уравнение из второго: $(x+2y) - (x-y) = v-u$, что дает $3y = v-u$, или $y = \frac{v-u}{3}$.

Подставим $y$ в первое уравнение замены: $x = u+y = u + \frac{v-u}{3} = \frac{3u+v-u}{3} = \frac{2u+v}{3}$.

Подставим эти выражения для $x$ и $y$ в упрощенное второе уравнение $x+5y=1$:

$\frac{2u+v}{3} + 5\left(\frac{v-u}{3}\right) = 1$.

Умножим обе части на 3: $2u+v + 5(v-u) = 3$.

$2u+v+5v-5u=3 \implies 6v-3u=3 \implies 2v-u=1$.

Из последнего уравнения выразим $u$: $u = 2v - 1$.

Теперь у нас есть система уравнений для $u$ и $v$:

$\begin{cases} 3u^2 + 2v^2 = 5, \\ u = 2v - 1. \end{cases}$

Подставим выражение для $u$ в первое уравнение:

$3(2v-1)^2 + 2v^2 = 5$

$3(4v^2 - 4v + 1) + 2v^2 = 5$

$12v^2 - 12v + 3 + 2v^2 = 5$

$14v^2 - 12v - 2 = 0$

Разделим на 2: $7v^2 - 6v - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по формуле или разложением на множители: $(7v+1)(v-1)=0$.

Корни: $v_1 = 1$, $v_2 = -1/7$.

Найдем соответствующие значения $u$:

Если $v_1 = 1$, то $u_1 = 2(1) - 1 = 1$.

Если $v_2 = -1/7$, то $u_2 = 2(-1/7) - 1 = -2/7 - 7/7 = -9/7$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 1, v = 1$.

$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y=0 \implies y=0$. Подставив $y=0$ в первое уравнение, находим $x=1$. Решение: $(1, 0)$.

Случай 2: $u = -9/7, v = -1/7$.

$\begin{cases} x - y = -9/7 \\ x + 2y = -1/7 \end{cases}$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $3y = -1/7 - (-9/7) = 8/7 \implies y=8/21$. Подставив $y=8/21$ в первое уравнение: $x - 8/21 = -9/7 \implies x = 8/21 - 27/21 = -19/21$. Решение: $(-19/21, 8/21)$.

Ответ: $(1, 0), (-19/21, 8/21)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5(x + y) + 4xy = 32, \\ xy(x + y) = 12; \end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем замену переменных: $u = xy$ и $v = x + y$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 5v + 4u = 32, \\ uv = 12. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $u = 12/v$ (заметим, что $v \neq 0$, иначе $0=12$, что неверно).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$5v + 4(12/v) = 32$

$5v + 48/v = 32$

Умножим обе части уравнения на $v$:

$5v^2 + 48 = 32v$

$5v^2 - 32v + 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$ с помощью формулы корней:

$v = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 48}}{2 \cdot 5} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 960}}{10} = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{10} = \frac{32 \pm 8}{10}$.

Получаем два корня для $v$:

$v_1 = \frac{32 + 8}{10} = \frac{40}{10} = 4$.

$v_2 = \frac{32 - 8}{10} = \frac{24}{10} = 12/5$.

Найдем соответствующие значения $u$:

Если $v_1 = 4$, то $u_1 = 12/4 = 3$.

Если $v_2 = 12/5$, то $u_2 = 12 / (12/5) = 5$.

Теперь вернемся к исходным переменным.

Случай 1: $u = 3, v = 4$.

$xy = 3$ и $x + y = 4$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 4z + 3 = 0$.

$(z-1)(z-3)=0$, откуда $z_1 = 1, z_2 = 3$.

Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $u = 5, v = 12/5$.

$xy = 5$ и $x + y = 12/5$.

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (12/5)z + 5 = 0$.

Умножим на 5, чтобы избавиться от дроби: $5z^2 - 12z + 25 = 0$.

Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 25 = 144 - 500 = -356$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2(x + y)^2 + 3(x + 2y) = 5, \\ 3(x + 2y) - 2x - 2y = 5. \end{cases}$

Упростим второе уравнение, вынеся -2 за скобки: $3(x + 2y) - 2(x + y) = 5$.

Теперь система выглядит более структурированной. Введем замену переменных: $u = x + y$ и $v = x + 2y$.

Система в новых переменных:

$\begin{cases} 2u^2 + 3v = 5, \\ 3v - 2u = 5. \end{cases}$

Из второго уравнения видим, что $3v = 5 + 2u$.

Подставим это выражение для $3v$ в первое уравнение:

$2u^2 + (5 + 2u) = 5$

$2u^2 + 2u = 0$

$2u(u + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $u$:

$u_1 = 0$, $u_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $v$ из соотношения $3v = 5 + 2u$.

Если $u_1 = 0$, то $3v = 5 + 2(0) = 5 \implies v_1 = 5/3$.

Если $u_2 = -1$, то $3v = 5 + 2(-1) = 3 \implies v_2 = 1$.

Теперь решим две системы для $x$ и $y$.

Случай 1: $u = 0, v = 5/3$.

$\begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y = 5/3 \end{cases}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $y = 5/3$.

Из первого уравнения $x = -y$, следовательно $x = -5/3$.

Решение: $(-5/3, 5/3)$.

Случай 2: $u = -1, v = 1$.

$\begin{cases} x + y = -1 \\ x + 2y = 1 \end{cases}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $y = 1 - (-1) = 2$.

Из первого уравнения $x = -1 - y = -1 - 2 = -3$.

Решение: $(-3, 2)$.

Ответ: $(-5/3, 5/3), (-3, 2)$.

Решите систему уравнений, используя разные методы:

6.11 a) $\begin{cases} x + y = 6, \\ x^2 - y^2 = 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 17. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x^2 - y^2 = 12. \end{cases} $
Во втором уравнении используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - y)(x + y) = 12$.
Из первого уравнения известно, что $x + y = 6$. Подставим это значение во второе уравнение:
$(x - y) \cdot 6 = 12$.
Разделим обе части на 6:
$x - y = 2$.
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 2. \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:
$(x + y) + (x - y) = 6 + 2$
$2x = 8$
$x = 4$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$4 + y = 6$
$y = 6 - 4$
$y = 2$.
Проверка: $4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$. Верно.
Ответ: $(4; 2)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $
Используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 1)^2 + y^2 = 5$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$
$2y^2 + 2y - 4 = 0$.
Разделим уравнение на 2, чтобы упростить:
$y^2 + y - 2 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -2$ и $y_2 = 1$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$.
1) Если $y_1 = -2$, то $x_1 = y_1 + 1 = -2 + 1 = -1$.
2) Если $y_2 = 1$, то $x_2 = y_2 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(-1; -2)$, $(2; 1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 - y^2 = 8. \end{cases} $
Как и в пункте а), применим формулу разности квадратов ко второму уравнению:
$(x - y)(x + y) = 8$.
Из первого уравнения $x - y = 2$. Подставим это значение:
$2 \cdot (x + y) = 8$.
Отсюда $x + y = 4$.
Получаем систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x + y = 4. \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(x - y) + (x + y) = 2 + 4$
$2x = 6$
$x = 3$.
Подставим $x=3$ в уравнение $x+y=4$:
$3 + y = 4$
$y = 1$.
Проверка: $3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8$. Верно.
Ответ: $(3; 1)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 17. \end{cases} $
Возведем первое уравнение в квадрат:
$(x + y)^2 = 5^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = 25$.
Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 17$. Подставим это в полученное уравнение:
$17 + 2xy = 25$
$2xy = 25 - 17$
$2xy = 8$
$xy = 4$.
Теперь мы имеем новую систему:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 4. \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Следовательно, решения системы — это пары $(x, y)$, где $x$ и $y$ принимают значения 1 и 4.
1) $x = 1$, $y = 4$.
2) $x = 4$, $y = 1$.
Ответ: $(1; 4)$, $(4; 1)$.

6.12 a) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^4 - y^4 = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x^4 + 3y^4 = 129; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = 15, \\ x^4 - y^4 = 80; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x^4 + y^4 = 82. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^4 - y^4 = 15; \end{cases} $$ Второе уравнение можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 15 $$ Подставим в это уравнение значение $x^2 - y^2 = 3$ из первого уравнения системы: $$ 3 \cdot (x^2 + y^2) = 15 $$ Разделим обе части на 3: $$ x^2 + y^2 = 5 $$ Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений относительно $x^2$ и $y^2$: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $$ (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = 3 + 5 $$ $$ 2x^2 = 8 $$ $$ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$ Теперь вычтем первое уравнение из второго: $$ (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 5 - 3 $$ $$ 2y^2 = 2 $$ $$ y^2 = 1 \implies y = \pm 1 $$ Таким образом, решениями являются все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$.

Ответ: $(\pm 2; \pm 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 1, \\ x^4 + 3y^4 = 129; \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x^2$: $$ x^2 = 1 + 2y^2 $$ Подставим это выражение во второе уравнение, учитывая, что $x^4 = (x^2)^2$: $$ (1 + 2y^2)^2 + 3y^4 = 129 $$ Раскроем скобки: $$ 1 + 4y^2 + 4y^4 + 3y^4 = 129 $$ Приведем подобные члены: $$ 7y^4 + 4y^2 - 128 = 0 $$ Сделаем замену $u = y^2$. Поскольку $y^2 \ge 0$, то и $u \ge 0$. $$ 7u^2 + 4u - 128 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $u$ с помощью дискриминанта: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-128) = 16 + 3584 = 3600 = 60^2 $$ $$ u = \frac{-4 \pm \sqrt{3600}}{2 \cdot 7} = \frac{-4 \pm 60}{14} $$ Получаем два корня: $$ u_1 = \frac{-4 + 60}{14} = \frac{56}{14} = 4 $$ $$ u_2 = \frac{-4 - 60}{14} = -\frac{64}{14} $$ Так как $u = y^2 \ge 0$, второй корень $u_2$ не подходит. Итак, $y^2 = 4$, откуда $y = \pm 2$. Теперь найдем $x^2$: $$ x^2 = 1 + 2y^2 = 1 + 2(4) = 1 + 8 = 9 $$ Отсюда $x = \pm 3$.

Ответ: $(\pm 3; \pm 2)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = 15, \\ x^4 - y^4 = 80; \end{cases} $$ Сделаем замену $a = x^2$ и $b = y^2$, где $a \ge 0, b \ge 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 2a - 3b = 15, \\ a^2 - b^2 = 80. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $a$: $$ 2a = 15 + 3b \implies a = \frac{15 + 3b}{2} $$ Подставим это во второе уравнение: $$ \left(\frac{15 + 3b}{2}\right)^2 - b^2 = 80 $$ $$ \frac{225 + 90b + 9b^2}{4} - b^2 = 80 $$ Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя: $$ 225 + 90b + 9b^2 - 4b^2 = 320 $$ $$ 5b^2 + 90b - 95 = 0 $$ Разделим уравнение на 5: $$ b^2 + 18b - 19 = 0 $$ Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $b_1 = 1$ и $b_2 = -19$. Так как $b = y^2 \ge 0$, корень $b_2 = -19$ не является решением. Следовательно, $y^2 = b = 1$, откуда $y = \pm 1$. Найдем $a$: $$ a = \frac{15 + 3(1)}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ Следовательно, $x^2 = a = 9$, откуда $x = \pm 3$.

Ответ: $(\pm 3; \pm 1)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x^4 + y^4 = 82. \end{cases} $$ Возведем обе части первого уравнения в квадрат: $$ (x^2 + y^2)^2 = 10^2 $$ $$ x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 100 $$ Из второго уравнения системы мы знаем, что $x^4 + y^4 = 82$. Подставим это значение в полученное уравнение: $$ 82 + 2x^2y^2 = 100 $$ $$ 2x^2y^2 = 100 - 82 $$ $$ 2x^2y^2 = 18 $$ $$ x^2y^2 = 9 $$ Теперь у нас есть новая система относительно $x^2$ и $y^2$: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x^2y^2 = 9. \end{cases} $$ Пусть $a = x^2$ и $b = y^2$. Тогда $a+b=10$ и $ab=9$. По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Это приводит к двум случаям: 1. $x^2 = 1$ и $y^2 = 9$. Отсюда $x = \pm 1$ и $y = \pm 3$. 2. $x^2 = 9$ и $y^2 = 1$. Отсюда $x = \pm 3$ и $y = \pm 1$. Оба случая дают наборы решений, которые удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(\pm 1; \pm 3)$, $(\pm 3; \pm 1)$.