Номер 7.8, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.8 Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна $\frac{1}{2}$, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите исходную дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ — это числитель, а $y$ — знаменатель ($x, y \in \mathbb{Z}$, $y \ne 0$).

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие гласит, что если к числителю и знаменателю прибавить 1, то дробь станет равна $\frac{1}{2}$. Запишем это в виде уравнения:
$\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2}$

Второе условие гласит, что сумма квадратов числителя и знаменателя исходной дроби равна 146. Запишем это в виде второго уравнения:
$x^2 + y^2 = 146$

Теперь у нас есть система уравнений:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2} \\ x^2 + y^2 = 146 \end{cases}$

Начнем с преобразования первого уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(x + 1) = 1(y + 1)$
$2x + 2 = y + 1$
Выразим $y$:
$y = 2x + 1$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x^2 + (2x + 1)^2 = 146$

Раскроем скобки и решим получившееся квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 + (4x^2 + 4x + 1) = 146$
$5x^2 + 4x + 1 - 146 = 0$
$5x^2 + 4x - 145 = 0$

Для решения этого уравнения используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-145) = 16 + 2900 = 2916$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2916} = 54$.

Теперь найдем возможные значения для $x$:
$x_1 = \frac{-4 + 54}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$
$x_2 = \frac{-4 - 54}{2 \cdot 5} = \frac{-58}{10} = -5.8$

Поскольку числитель обыкновенной дроби должен быть целым числом, нам подходит только корень $x = 5$.

Найдем соответствующее значение знаменателя $y$, подставив $x = 5$ в выражение $y = 2x + 1$:
$y = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11$

Следовательно, исходная дробь равна $\frac{5}{11}$.

Проверим найденное решение:
1. $\frac{5 + 1}{11 + 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Первое условие выполняется.
2. $5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$. Второе условие выполняется.

Ответ: $\frac{5}{11}$