Номер 7.15, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.15 В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколько человек сдавало экзамен по математике?

Пусть $n$ — это количество человек, которые сдавали экзамен по математике. Согласно условию, изначально планировалось, что экзамен будут сдавать на 20 человек больше, то есть $n + 20$ абитуриентов.

Всего было заготовлено 400 листов бумаги.

Изначально предполагалось выдать каждому абитуриенту по $ \frac{400}{n + 20} $ листов бумаги.

Фактически, каждый абитуриент, сдававший экзамен, получил $ \frac{400}{n} $ листов бумаги.

По условию задачи, каждый из сдавших экзамен абитуриентов получил на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось изначально. На основании этого можно составить уравнение:

$$ \frac{400}{n} = \frac{400}{n + 20} + 1 $$

Перенесем дробь из правой части в левую:

$$ \frac{400}{n} - \frac{400}{n + 20} = 1 $$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $n(n + 20)$:

$$ \frac{400(n + 20) - 400n}{n(n + 20)} = 1 $$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$$ \frac{400n + 8000 - 400n}{n^2 + 20n} = 1 $$

$$ \frac{8000}{n^2 + 20n} = 1 $$

Из этого уравнения следует, что числитель равен знаменателю (при условии, что $n \neq 0$ и $n \neq -20$):

$$ n^2 + 20n = 8000 $$

Перенесем 8000 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ n^2 + 20n - 8000 = 0 $$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$$ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8000) = 400 + 32000 = 32400 $$

Найдем корни уравнения:

$$ n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 + 180}{2} = \frac{160}{2} = 80 $$

$$ n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{32400}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 - 180}{2} = \frac{-200}{2} = -100 $$

Так как количество человек ($n$) не может быть отрицательным, корень $n_2 = -100$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, экзамен по математике сдавало 80 человек.

Ответ: 80.