Номер 7.27, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7.27 Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40 % задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Пусть весь объем работы, который необходимо выполнить, равен 1. Обозначим производительность первого рабочего как $p_1$ (часть задания, выполняемая за час), а производительность второго рабочего — как $p_2$. Тогда время, за которое каждый из них выполнит все задание в одиночку, будет равно $t_1 = \frac{1}{p_1}$ и $t_2 = \frac{1}{p_2}$ соответственно.

Согласно первому условию, работая вместе, они выполняют задание за 2 часа. Их совместная производительность составляет $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$(p_1 + p_2) \cdot 2 = 1$

Из этого уравнения следует:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{2}$ (1)

Согласно второму условию, если один рабочий выполнит 40% (то есть 0,4) задания, а второй — оставшиеся 60% (то есть 0,6), общее время работы составит 4 часа. Время, необходимое для выполнения части работы, рассчитывается как объем этой части, деленный на производительность. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{0.4}{p_1} + \frac{0.6}{p_2} = 4$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для ее решения выразим $p_2$ из уравнения (1):

$p_2 = \frac{1}{2} - p_1$

Теперь подставим это выражение в уравнение (2):

$\frac{0.4}{p_1} + \frac{0.6}{\frac{1}{2} - p_1} = 4$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{0.4(\frac{1}{2} - p_1) + 0.6p_1}{p_1(\frac{1}{2} - p_1)} = 4$

Упростим числитель:

$\frac{0.2 - 0.4p_1 + 0.6p_1}{\frac{1}{2}p_1 - p_1^2} = 4 \implies \frac{0.2 + 0.2p_1}{\frac{1}{2}p_1 - p_1^2} = 4$

Теперь избавимся от знаменателя, умножив на него обе части уравнения:

$0.2 + 0.2p_1 = 4(\frac{1}{2}p_1 - p_1^2)$

$0.2 + 0.2p_1 = 2p_1 - 4p_1^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$4p_1^2 - 2p_1 + 0.2p_1 + 0.2 = 0$

$4p_1^2 - 1.8p_1 + 0.2 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 10, а затем разделим на 2:

$40p_1^2 - 18p_1 + 2 = 0 \implies 20p_1^2 - 9p_1 + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 81 - 80 = 1$

Найдем корни уравнения для $p_1$:

$p_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 1}{40}$

Это дает нам два возможных значения для $p_1$:

$p_{1,1} = \frac{9+1}{40} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$

$p_{1,2} = \frac{9-1}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Теперь для каждого найденного значения $p_1$ найдем соответствующее значение $p_2$ из уравнения $p_2 = \frac{1}{2} - p_1$:

1. Если $p_1 = \frac{1}{4}$, то $p_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. В этом случае $p_1 = p_2$, что противоречит условию о различной производительности труда. Следовательно, это решение не подходит.

2. Если $p_1 = \frac{1}{5}$, то $p_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{5}{10} - \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$. В этом случае производительности различны, что соответствует условию задачи.

Итак, производительность одного рабочего составляет $\frac{1}{5}$ задания в час, а другого — $\frac{3}{10}$ задания в час.

Осталось найти время, за которое каждый рабочий выполнит все задание в одиночку:

Время первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{1/5} = 5$ часов.

Время второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{3/10} = \frac{10}{3}$ часа.

Переведем $\frac{10}{3}$ часа в часы и минуты: $\frac{10}{3} \text{ ч} = 3 \frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}$.

Ответ: один рабочий сможет выполнить все задание за 5 часов, а второй — за 3 часа 20 минут.