Номер 8, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8 Решите графически систему уравнений

$\begin{cases} (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9, \\ |x+1| - y = 1. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут решениями системы.

1. Анализ первого уравнения: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $C(-1, 2)$, а радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$. Итак, первый график — это окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом 3.

2. Анализ второго уравнения: $|x + 1| - y = 1$

Выразим $y$ из уравнения: $y = |x + 1| - 1$. Этот график является графиком функции $y = |x|$, смещенным на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина этого графика находится в точке $(-1, -1)$.
График состоит из двух лучей, выходящих из вершины:
- При $x \ge -1$, уравнение принимает вид $y = (x + 1) - 1$, то есть $y = x$.
- При $x < -1$, уравнение принимает вид $y = -(x + 1) - 1$, то есть $y = -x - 2$.
Таким образом, второй график — это "галочка" с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветви которой направлены вверх.

3. Построение графиков и нахождение решений

Построим оба графика в одной системе координат. Окружность с центром в $C(-1, 2)$ и радиусом 3. И график $y = |x + 1| - 1$ с вершиной в $(-1, -1)$.

Из графика видно, что окружность и "галочка" пересекаются в трех точках. Найдем их координаты.
- Первая точка пересечения — это вершина "галочки" $(-1, -1)$. Проверим, лежит ли она на окружности: $(-1 + 1)^2 + (-1 - 2)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$. Верно.
- Вторая точка пересечения лежит на луче $y = x$. Подставив в уравнение окружности, получим $(x+1)^2 + (x-2)^2 = 9$, что приводит к уравнению $x^2-x-2=0$. Корни $x=2$ и $x=-1$. Корень $x=-1$ соответствует уже найденной точке. Корень $x=2$ дает $y=2$. Таким образом, вторая точка — $(2, 2)$.
- Третья точка пересечения лежит на луче $y = -x - 2$. Подставив в уравнение окружности, получим $(x+1)^2 + (-x-4)^2 = 9$, что приводит к уравнению $x^2+5x+4=0$. Корни $x=-4$ и $x=-1$. Корень $x=-1$ не удовлетворяет условию $x < -1$. Корень $x=-4$ дает $y = -(-4)-2=2$. Таким образом, третья точка — $(-4, 2)$.
Итак, система имеет три решения, которые соответствуют координатам точек пересечения графиков.

Ответ: $(-1, -1)$, $(2, 2)$, $(-4, 2)$.