Номер 2, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2 Постройте график уравнения

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16.$

Данное уравнение $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ представляет собой стандартное уравнение окружности.

Общий вид уравнения окружности: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, где $(h, k)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

Для того чтобы построить график, необходимо определить параметры окружности из заданного уравнения:

• Сравнивая $(x + 1)^2$ с $(x - h)^2$, получаем $x - h = x + 1$, откуда находим абсциссу центра $h = -1$.
• Сравнивая $(y - 2)^2$ с $(y - k)^2$, получаем $y - k = y - 2$, откуда находим ординату центра $k = 2$.
• Таким образом, центр окружности находится в точке $C(-1, 2)$.
• Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $r^2 = 16$.
• Следовательно, радиус окружности равен $r = \sqrt{16} = 4$.

Построение графика выполняется в следующей последовательности:

1. На координатной плоскости отмечаем центр окружности — точку с координатами $(-1, 2)$.
2. От центра окружности откладываем расстояние, равное радиусу (4 единицы), в четырёх направлениях: вверх, вниз, вправо и влево. Получаем следующие точки на окружности:
   • Верхняя точка: $(-1, 2 + 4) = (-1, 6)$
   • Нижняя точка: $(-1, 2 - 4) = (-1, -2)$
   • Правая точка: $(-1 + 4, 2) = (3, 2)$
   • Левая точка: $(-1 - 4, 2) = (-5, 2)$
3. Соединяем полученные точки плавной кривой, формируя окружность.

Ответ: Графиком уравнения $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ является окружность с центром в точке $(-1, 2)$ и радиусом, равным $4$.