Номер 5.40, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5.40 Постройте график уравнения:

а) $y=\sqrt{16-x^2}$;

б) $y=\sqrt{3+2x-x^2}$;

в) $y=-\sqrt{9-x^2}$;

г) $y=2-\sqrt{9-8x-x^2}$.

а) $y = \sqrt{16 - x^2}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $16 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 16$ $-4 \le x \le 4$.

2. Определим область значений. Поскольку $y$ равен арифметическому квадратному корню, $y \ge 0$.

3. Преобразуем уравнение. Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 16 - x^2$ $x^2 + y^2 = 16$ $x^2 + y^2 = 4^2$

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R=4$. Учитывая, что $y \ge 0$, мы получаем только верхнюю половину этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 4.

б) $y = \sqrt{3 + 2x - x^2}$

1. Найдем область определения: $3 + 2x - x^2 \ge 0$. Решим уравнение $-x^2 + 2x + 3 = 0$, или $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ направлены вниз, неравенство выполняется между корнями: $-1 \le x \le 3$.

2. Область значений: $y \ge 0$.

3. Преобразуем уравнение, возведя обе части в квадрат: $y^2 = 3 + 2x - x^2$ $x^2 - 2x + y^2 = 3$ Выделим полный квадрат для переменной $x$: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 3$ $(x - 1)^2 + y^2 = 4$ $(x - 1)^2 + y^2 = 2^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R=2$. С учетом условия $y \ge 0$, график представляет собой верхнюю полуокружность.

Ответ: Графиком уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 2.

в) $y = -\sqrt{9 - x^2}$

1. Область определения: $9 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 9$ $-3 \le x \le 3$.

2. Область значений: из-за знака "минус" перед корнем, $y \le 0$.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = ( - \sqrt{9 - x^2} )^2$ $y^2 = 9 - x^2$ $x^2 + y^2 = 9$ $x^2 + y^2 = 3^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Условие $y \le 0$ означает, что мы берем нижнюю половину этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является нижняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3.

г) $y = 2 - \sqrt{9 - 8x - x^2}$

1. Найдем область определения: $9 - 8x - x^2 \ge 0$. Решим уравнение $-x^2 - 8x + 9 = 0$, или $x^2 + 8x - 9 = 0$. Корни: $x_1 = -9$, $x_2 = 1$. Ветви параболы $f(x) = -x^2 - 8x + 9$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется при $-9 \le x \le 1$.

2. Преобразуем уравнение, чтобы определить область значений: $y - 2 = - \sqrt{9 - 8x - x^2}$ Так как правая часть неположительна, то $y - 2 \le 0$, следовательно, $y \le 2$.

3. Возведем обе части преобразованного уравнения в квадрат: $(y - 2)^2 = 9 - 8x - x^2$ $x^2 + 8x + (y - 2)^2 = 9$ Выделим полный квадрат для $x$: $(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y - 2)^2 = 9$ $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 25$ $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-4, 2)$ и радиусом $R=5$. Учитывая, что $y \le 2$, график является нижней полуокружностью.

Ответ: Графиком уравнения является нижняя полуокружность с центром в точке $(-4, 2)$ и радиусом 5.