Страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.5 Найдите расстояние между точками $A$ и $B$ координатной плоскости:

a) $A(1; 1)$, $B(4; 5)$;

б) $A(-5; 0)$, $B(0; 12)$;

в) $A(-1; -2)$, $B(3; 1)$;

г) $A(0; 6)$, $B(-8; -9)$.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула является следствием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого служат разности соответствующих координат, а гипотенузой — отрезок, соединяющий точки A и B. Применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

а) A(1; 1), B(4; 5)

Подставляем координаты точек A и B в формулу расстояния:

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

б) A(-5; 0), B(0; 12)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$AB = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{(0 + 5)^2 + 12^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13

в) A(-1; -2), B(3; 1)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

г) A(0; 6), B(-8; -9)

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

$AB = \sqrt{(-8 - 0)^2 + (-9 - 6)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

Ответ: 17

5.6 Постройте график уравнения:

а) $x^2 + y^2 = 25;$

б) $x^2 + y^2 = 9;$

в) $x^2 + y^2 = 4;$

г) $x^2 + y^2 = 1.$

Все представленные уравнения имеют вид $x^2 + y^2 = R^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R$. Чтобы построить график такого уравнения, нужно определить его радиус, взяв квадратный корень из числа в правой части уравнения, и начертить окружность с соответствующим радиусом и центром в точке $(0, 0)$.

а) $x^2 + y^2 = 25$

Данное уравнение является уравнением окружности. Его можно переписать в стандартном виде $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$. Из этого вида мы видим, что:

• Центр окружности находится в точке с координатами $(0, 0)$ (начало координат).
• Радиус окружности $R = \sqrt{25} = 5$.

Для построения графика нужно начертить окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Эта окружность будет проходить через точки $(5, 0)$, $(-5, 0)$, $(0, 5)$ и $(0, -5)$ на осях координат.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

б) $x^2 + y^2 = 9$

Это уравнение окружности вида $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.

• Центр окружности — точка $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

График — это окружность с центром в начале координат и радиусом 3. Она пересекает оси координат в точках $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 3.

в) $x^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности вида $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$.

• Центр окружности находится в точке $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R = \sqrt{4} = 2$.

График представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Она проходит через точки $(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 2.

г) $x^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности вида $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1^2$.

• Центр окружности — точка $(0, 0)$.
• Радиус окружности $R = \sqrt{1} = 1$.

Такая окружность называется единичной. Её график — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1, проходящая через точки $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

5.7 Найдите координаты центра и радиус окружности:

а) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$;

б) $(x + 5)^2 + (y + 7)^2 = 1$;

в) $(x - 10)^2 + (y + 1)^2 = 16$;

г) $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 144.

Постройте график уравнения:

Для нахождения координат центра и радиуса окружности воспользуемся её каноническим уравнением:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус. Мы будем сравнивать каждое из данных уравнений с этой общей формулой.

а) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Сравниваем данное уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Член $(x + 1)^2$ можно представить в виде $(x - (-1))^2$, отсюда следует, что координата центра по оси абсцисс $x_0 = -1$.

Член $(y - 3)^2$ соответствует $(y - y_0)^2$, следовательно, координата центра по оси ординат $y_0 = 3$.

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(-1, 3)$.

Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $r^2 = 25$.

Радиус $r$ равен положительному квадратному корню из $25$, то есть $r = \sqrt{25} = 5$.

Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $5$.

Ответ: центр $(-1, 3)$, радиус $r=5$.

б) $(x + 5)^2 + (y + 7)^2 = 1$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x + 5)^2 = (x - (-5))^2$ следует, что $x_0 = -5$.

Из $(y + 7)^2 = (y - (-7))^2$ следует, что $y_0 = -7$.

Следовательно, центр окружности находится в точке $(-5, -7)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 1$ находим радиус: $r = \sqrt{1} = 1$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(-5, -7)$ и радиусом $1$.

Ответ: центр $(-5, -7)$, радиус $r=1$.

в) $(x - 10)^2 + (y + 1)^2 = 16$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x - 10)^2$ следует, что $x_0 = 10$.

Из $(y + 1)^2 = (y - (-1))^2$ следует, что $y_0 = -1$.

Таким образом, центр окружности находится в точке $(10, -1)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 16$ находим радиус: $r = \sqrt{16} = 4$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(10, -1)$ и радиусом $4$.

Ответ: центр $(10, -1)$, радиус $r=4$.

г) $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 144$

Сравниваем с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$.

Из $(x - 4)^2$ следует, что $x_0 = 4$.

Из $(y - 5)^2$ следует, что $y_0 = 5$.

Следовательно, центр окружности находится в точке $(4, 5)$.

Из правой части уравнения $r^2 = 144$ находим радиус: $r = \sqrt{144} = 12$.

Графиком является окружность с центром в точке $O(4, 5)$ и радиусом $12$.

Ответ: центр $(4, 5)$, радиус $r=12$.

5.8 а) $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 16;$

б) $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 25;$

В) $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 9;$

Г) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4.$

Каждое из представленных уравнений является уравнением окружности в стандартной форме $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус. Чтобы найти эти параметры для каждого случая, необходимо сравнить данное уравнение с эталонной формой.

а) Дано уравнение $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 16$. Перепишем его в стандартном виде: $(x - (-2))^2 + (y - (-1))^2 = 4^2$. Сравнивая с общей формулой, находим координаты центра $(a,b) = (-2, -1)$ и радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: центр окружности в точке $(-2, -1)$, радиус $R=4$.

б) Дано уравнение $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 25$. Перепишем его в стандартном виде: $(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$. Отсюда координаты центра $(a,b) = (3, -5)$ и радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: центр окружности в точке $(3, -5)$, радиус $R=5$.

в) Дано уравнение $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 9$. Это уравнение можно записать как $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 3^2$. Таким образом, координаты центра $(a,b) = (4, 1)$ и радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: центр окружности в точке $(4, 1)$, радиус $R=3$.

г) Дано уравнение $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$. Перепишем его в стандартном виде: $(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = 2^2$. Следовательно, координаты центра $(a,b) = (-1, 3)$ и радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: центр окружности в точке $(-1, 3)$, радиус $R=2$.

5.9 a) $x^2 + (y - 3)^2 = 36;$

б) $(x + 2)^2 + y^2 = 9;$

В) $x^2 + (y + 6)^2 = 4;$

Г) $(x - 4)^2 + y^2 = 25.$

а) Данное уравнение $x^2 + (y - 3)^2 = 36$ является уравнением окружности в стандартном виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.
В нашем случае уравнение можно записать как $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$.
Сравнивая с общей формой, получаем, что координаты центра окружности $a = 0$ и $b = 3$. Таким образом, центр окружности находится в точке $(0, 3)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 36$, следовательно, радиус $R = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: центр окружности — точка $(0, 3)$, радиус $R=6$.

б) Уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 9$ также является уравнением окружности.
Запишем его в стандартном виде $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Для этого представим $(x + 2)^2$ как $(x - (-2))^2$ и $y^2$ как $(y - 0)^2$, а $9$ как $3^2$. Получим: $(x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2$.
Отсюда видно, что координаты центра окружности $a = -2$ и $b = 0$. Центр находится в точке $(-2, 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 9$, значит радиус $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: центр окружности — точка $(-2, 0)$, радиус $R=3$.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + (y + 6)^2 = 4$.
Приведем его к стандартному виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Уравнение можно переписать как $(x - 0)^2 + (y - (-6))^2 = 2^2$.
Из этого следует, что координаты центра окружности $a = 0$ и $b = -6$. Центр окружности — точка $(0, -6)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 4$, поэтому радиус $R = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: центр окружности — точка $(0, -6)$, радиус $R=2$.

г) Рассмотрим уравнение $(x - 4)^2 + y^2 = 25$.
Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.
Наше уравнение можно записать как $(x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$.
Сравнивая, находим координаты центра: $a = 4$ и $b = 0$. Центр окружности — точка $(4, 0)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 25$, отсюда радиус $R = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: центр окружности — точка $(4, 0)$, радиус $R=5$.

5.10 Напишите уравнение окружности с центром в точке O(0; 0) и радиусом:

а) 5;

б) $\sqrt{3}$;

в) $\frac{1}{2}$;

г) 1.

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

В данной задаче центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $O(0; 0)$. Это означает, что $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Подставив эти значения в общее уравнение, мы получаем упрощенное уравнение для окружности с центром в начале координат:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2$

$x^2 + y^2 = r^2$

Далее для каждого случая необходимо подставить заданное значение радиуса $r$ в это уравнение.

а)

Дан радиус $r = 5$.

Возводим радиус в квадрат: $r^2 = 5^2 = 25$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$x^2 + y^2 = 25$

Ответ: $x^2 + y^2 = 25$.

б)

Дан радиус $r = \sqrt{3}$.

Возводим радиус в квадрат: $r^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$x^2 + y^2 = 3$

Ответ: $x^2 + y^2 = 3$.

в)

Дан радиус $r = \frac{1}{2}$.

Возводим радиус в квадрат: $r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

Ответ: $x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$.

г)

Дан радиус $r = 1$.

Возводим радиус в квадрат: $r^2 = 1^2 = 1$.

Подставляем полученное значение в уравнение:

$x^2 + y^2 = 1$

Ответ: $x^2 + y^2 = 1$.

5.11 Напишите уравнение окружности:

а) с центром в точке A(1; 2) и радиусом 3;

б) с центром в точке B(-3; 8) и радиусом 11;

в) с центром в точке C(0; -10) и радиусом 7;

г) с центром в точке D(-5; -2) и радиусом 4.

Составьте уравнение окружности, изображённой:

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$

Для решения задачи необходимо подставить координаты центра и значение радиуса в эту формулу для каждого случая.

а) с центром в точке А(1; 2) и радиусом 3;

Здесь координаты центра $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, а радиус $r = 3$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$

Возводим радиус в квадрат:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

б) с центром в точке B(-3; 8) и радиусом 11;

Здесь координаты центра $x_0 = -3$, $y_0 = 8$, а радиус $r = 11$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - (-3))^2 + (y - 8)^2 = 11^2$

Упрощаем выражение в скобках и возводим радиус в квадрат:

$(x + 3)^2 + (y - 8)^2 = 121$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 8)^2 = 121$

в) с центром в точке C(0; -10) и радиусом 7;

Здесь координаты центра $x_0 = 0$, $y_0 = -10$, а радиус $r = 7$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - 0)^2 + (y - (-10))^2 = 7^2$

Упрощаем и вычисляем квадрат радиуса:

$x^2 + (y + 10)^2 = 49$

Ответ: $x^2 + (y + 10)^2 = 49$

г) с центром в точке D(-5; -2) и радиусом 4.

Здесь координаты центра $x_0 = -5$, $y_0 = -2$, а радиус $r = 4$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$

Упрощаем выражения в скобках и возводим радиус в квадрат:

$(x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 16$

5.12 а) На рис. 1;

б) на рис. 2;

в) на рис. 3;

г) на рис. 4.

Рис. 1

y

1

O

1

2

x

Рис. 2

y

1

$-\sqrt{3}$

O

1

x

Рис. 3

y

1,5

1

O

1

x

Рис. 4

y

1

O

-0,5

1

x

а) На рис. 1;

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. На рисунке 1 центр окружности, точка O, совпадает с началом координат, то есть $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Окружность проходит через точку $(2, 0)$, следовательно, её радиус $R=2$. Подставив эти значения в формулу, получаем: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$, что равносильно уравнению $x^2 + y^2 = 4$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$.

б) На рис. 2;

Центр данной окружности находится в начале координат $(0, 0)$. Окружность проходит через точку с координатами $(-\sqrt{3}, 0)$, поэтому её радиус $R$ равен $\sqrt{3}$. Подставляем координаты центра и радиус в общее уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{3})^2$, что приводит к уравнению $x^2 + y^2 = 3$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 3$.

в) На рис. 3;

Центр окружности на рисунке 3 находится в начале координат $(0, 0)$. Окружность проходит через точку $(0, 1.5)$ на оси Oy, следовательно, её радиус $R = 1.5$. Подставим эти значения в стандартное уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (1.5)^2$. Выполнив возведение в квадрат, получаем итоговое уравнение: $x^2 + y^2 = 2.25$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 2.25$.

г) На рис. 4;

Центр окружности на рисунке 4 совпадает с началом координат $(0, 0)$. Окружность проходит через точку $(0, -0.5)$ на оси Oy. Расстояние от центра до этой точки равно радиусу, поэтому $R = 0.5$. Подставляя значения в общее уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, имеем: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (0.5)^2$. После вычисления квадрата радиуса получаем уравнение $x^2 + y^2 = 0.25$.

Ответ: $x^2 + y^2 = 0.25$.

5.13 а) На рис. 5;

Рис. 5

б) на рис. 6;

Рис. 6

в) на рис. 7;

Рис. 7

г) на рис. 8.

Рис. 8

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из рисунка 5 определяем координаты центра окружности. Центр находится в точке с координатами $(-2; 2)$. Таким образом, $x_0 = -2$ и $y_0 = 2$.

Радиус окружности $R$ — это расстояние от центра до любой точки на окружности. По графику видно, что расстояние от центра $(-2; 2)$ до точки на окружности $(-2; 1)$ равно 1 единичному отрезку. Следовательно, $R = 1$.

Подставляем найденные значения $x_0$, $y_0$ и $R$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 = 1^2$

$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из рисунка 6 определяем, что центр окружности находится в точке с координатами $(2; -1)$. Таким образом, $x_0 = 2$ и $y_0 = -1$.

Радиус окружности $R$ можно найти как расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, от центра $(2; -1)$ до точки $(4; -1)$ на окружности расстояние равно 2 единичным отрезкам. Следовательно, $R = 2$.

Подставляем найденные значения в уравнение:

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из рисунка 7 определяем, что центр окружности находится в точке с координатами $(1; 3)$. Таким образом, $x_0 = 1$ и $y_0 = 3$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $(1; 3)$ до точки на окружности, например, $(3; 3)$. Это расстояние составляет 2 единичных отрезка. Следовательно, $R = 2$.

Подставляем найденные значения в уравнение:

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 2^2$

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Из рисунка 8 определяем, что центр окружности находится в точке с координатами $(-2; -2)$. Таким образом, $x_0 = -2$ и $y_0 = -2$.

Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра $(-2; -2)$ до точки на окружности, например, $(0; -2)$. Это расстояние составляет 2 единичных отрезка. Следовательно, $R = 2$.

Подставляем найденные значения в уравнение:

$(x - (-2))^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$

$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4$