Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7 Дано выражение $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{(3x - 1)^2 (2x + 3)(5 - x)}{x(x - 1)}$.

Найдите значения переменной, при которых $f(x) \ge 0$.

Требуется найти значения переменной $x$, при которых выполняется неравенство:

$$ f(x) = \frac{(3x-1)^2(2x+3)(5-x)}{x(x-1)} \ge 0 $$

Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x(x-1) \ne 0$

Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 1$. На числовой оси эти точки будут "выколотыми".

2. Найдем нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых числитель равен нулю (а сама функция определена):

$(3x-1)^2(2x+3)(5-x) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

• $(3x-1)^2 = 0 \implies 3x-1=0 \implies x = \frac{1}{3}$. Это корень четной кратности (кратность 2), так как скобка возведена в квадрат. При переходе через эту точку знак функции меняться не будет.
• $2x+3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
• $5-x = 0 \implies x=5$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=-1.5$, $x=\frac{1}{3}$ и $x=5$ будут "закрашенными", то есть войдут в решение.

3. Применим метод интервалов

Отметим на числовой оси все найденные точки в порядке возрастания: $-1.5, 0, \frac{1}{3}, 1, 5$.

Определим знак выражения $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=10$:

$f(10) = \frac{(3 \cdot 10-1)^2(2 \cdot 10+3)(5-10)}{10(10-1)} = \frac{(+)^2(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} = (-)$

Таким образом, в интервале $(5, +\infty)$ функция имеет знак "минус".

Двигаясь справа налево по числовой оси, будем изменять знак при переходе через корни нечетной кратности ($5, 1, 0, -1.5$) и сохранять знак при переходе через корень четной кратности ($\frac{1}{3}$).

Знаки на интервалах распределятся следующим образом:

• $(-\infty; -1.5)$: знак "−"
• $(-1.5; 0)$: знак "+"
• $(0; \frac{1}{3})$: знак "−"
• $(\frac{1}{3}; 1)$: знак "−"
• $(1; 5)$: знак "+"
• $(5; +\infty)$: знак "−"

4. Выбор решения

Нам нужны значения $x$, при которых $f(x) \ge 0$. Это промежутки, где функция положительна, а также точки, в которых она равна нулю.

• Функция положительна (знак "+") на интервалах $(-1.5, 0)$ и $(1, 5)$.
• Функция равна нулю в точках $x=-1.5$, $x=\frac{1}{3}$ и $x=5$.

Объединяем полученные результаты. Включаем концы интервалов, где функция равна нулю ($-1.5$ и $5$) и исключаем точки, где она не определена ($0$ и $1$). Также добавляем изолированную точку $x=\frac{1}{3}$, в которой функция равна нулю.

Итоговое решение: $x \in [-1.5, 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (1, 5]$.

Ответ: $x \in [-1.5, 0) \cup \{\frac{1}{3}\} \cup (1, 5]$.

8. Решите систему неравенств

$\begin{cases} 2x^2 + 5x - 7 > 0, \\ \frac{3x - 4}{2x + 6} \le 1. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x - 7 > 0$.

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 5x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2>0$). Значения функции положительны, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -3.5) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{3x - 4}{2x + 6} \le 1$.

Это дробно-рациональное неравенство. Перенесем 1 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{3x - 4}{2x + 6} - 1 \le 0$

$\frac{3x - 4 - (2x + 6)}{2x + 6} \le 0$

$\frac{x - 10}{2x + 6} \le 0$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x - 10 = 0 \Rightarrow x = 10$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$. Эта точка не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-3$ и $10$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них. Нам нужен интервал, где дробь меньше или равна нулю. Это происходит, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, или когда числитель равен нулю.

Выражение $\frac{x - 10}{2x + 6}$ отрицательно на интервале $(-3; 10)$ и равно нулю при $x=10$.

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-3; 10]$.

Теперь найдем решение системы, для чего найдем пересечение полученных решений:

Решение 1: $x \in (-\infty; -3.5) \cup (1; +\infty)$

Решение 2: $x \in (-3; 10]$

Пересечением этих двух множеств является интервал $(1; 10]$.

Ответ: $(1; 10]$.

9 Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства

$-3 \leq \frac{5+3x}{4} \leq -1.$

Укажите середину отрезка.

Найдите длину отрезка, служащего решением двойного неравенства

Для того чтобы найти длину отрезка, сначала необходимо решить данное двойное неравенство и найти его концы.

Исходное неравенство: $$-3 \le \frac{5 + 3x}{4} \le -1$$

1. Умножим все части неравенства на 4. Так как 4 является положительным числом, знаки неравенства не меняются. $$-3 \cdot 4 \le 5 + 3x \le -1 \cdot 4$$ $$-12 \le 5 + 3x \le -4$$

2. Вычтем 5 из всех частей неравенства, чтобы изолировать слагаемое с $x$. $$-12 - 5 \le 3x \le -4 - 5$$ $$-17 \le 3x \le -9$$

3. Разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются. $$-\frac{17}{3} \le x \le -\frac{9}{3}$$ $$-\frac{17}{3} \le x \le -3$$

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-\frac{17}{3}, -3]$.

Длина отрезка $[a, b]$ вычисляется по формуле $L = b - a$. В данном случае $a = -\frac{17}{3}$ и $b = -3$. $$L = -3 - \left(-\frac{17}{3}\right) = -3 + \frac{17}{3} = -\frac{9}{3} + \frac{17}{3} = \frac{17 - 9}{3} = \frac{8}{3}$$ Ответ: $\frac{8}{3}$

Укажите середину отрезка

Середина отрезка $[a, b]$ вычисляется по формуле $M = \frac{a + b}{2}$. Используя концы отрезка, найденные в предыдущем пункте, $a = -\frac{17}{3}$ и $b = -3$, найдем его середину. $$M = \frac{-\frac{17}{3} + (-3)}{2} = \frac{-\frac{17}{3} - \frac{9}{3}}{2} = \frac{\frac{-26}{3}}{2} = -\frac{26}{3 \cdot 2} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3}$$ Ответ: $-\frac{13}{3}$

10 Найдите все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств

$$\begin{cases} \frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x, \\ \frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}. \end{cases}$$

Для того чтобы найти все целые числа, удовлетворяющие системе, необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства $\frac{2x - 11}{4} + \frac{19 - 2x}{2} < 2x$

Для избавления от дробей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4. Знак неравенства не меняется, так как 4 – положительное число.

$4 \cdot \left(\frac{2x - 11}{4}\right) + 4 \cdot \left(\frac{19 - 2x}{2}\right) < 4 \cdot (2x)$

$(2x - 11) + 2(19 - 2x) < 8x$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x - 11 + 38 - 4x < 8x$

$-2x + 27 < 8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть:

$27 < 8x + 2x$

$27 < 10x$

Отсюда находим $x$:

$x > \frac{27}{10}$ или $x > 2.7$

Решение второго неравенства $\frac{2x + 15}{9} > \frac{1}{5}(x - 1) + \frac{x}{3}$

Сначала преобразуем правую часть: $\frac{2x + 15}{9} > \frac{x-1}{5} + \frac{x}{3}$.

Теперь умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 9, 5 и 3, равное 45. Знак неравенства не изменится.

$45 \cdot \left(\frac{2x + 15}{9}\right) > 45 \cdot \left(\frac{x - 1}{5}\right) + 45 \cdot \left(\frac{x}{3}\right)$

$5(2x + 15) > 9(x - 1) + 15x$

Раскроем скобки:

$10x + 75 > 9x - 9 + 15x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$10x + 75 > 24x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а константы — в левую:

$75 + 9 > 24x - 10x$

$84 > 14x$

Отсюда находим $x$:

$x < \frac{84}{14}$ или $x < 6$

Нахождение целых решений системы

Мы получили, что решение исходной системы должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x > 2.7$ и $x < 6$.

Запишем это в виде двойного неравенства: $2.7 < x < 6$.

Искомые целые числа — это целые значения $x$, которые лежат в интервале $(2.7; 6)$.

Такими числами являются 3, 4, 5.

Ответ: 3, 4, 5.

1 Множество $M$ состоит из всех двузначных чисел, которые можно записать в виде $n^2 + 10$, где $n$ — натуральное число. Задайте множество $M$, перечислив все его элементы.

Согласно условию, множество $M$ состоит из всех двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99 включительно. Элементы множества $M$ должны соответствовать формуле $n^2 + 10$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Чтобы найти все элементы множества $M$, необходимо найти все натуральные числа $n$, для которых значение выражения $n^2 + 10$ является двузначным числом. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$10 \le n^2 + 10 \le 99$

Решим это неравенство. Сначала рассмотрим левую часть: $10 \le n^2 + 10$. Вычитая 10 из обеих частей, получаем $0 \le n^2$. Это неравенство верно для любого натурального числа $n$.

Теперь рассмотрим правую часть: $n^2 + 10 \le 99$. Вычитая 10 из обеих частей, получаем $n^2 \le 89$.

Нам нужно найти все натуральные числа $n$, квадрат которых не превышает 89. Будем последовательно подставлять натуральные числа $n$ и вычислять значения выражения $n^2+10$, пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

При $n=1$: $1^2 + 10 = 1 + 10 = 11$. (Это двузначное число)

При $n=2$: $2^2 + 10 = 4 + 10 = 14$. (Это двузначное число)

При $n=3$: $3^2 + 10 = 9 + 10 = 19$. (Это двузначное число)

При $n=4$: $4^2 + 10 = 16 + 10 = 26$. (Это двузначное число)

При $n=5$: $5^2 + 10 = 25 + 10 = 35$. (Это двузначное число)

При $n=6$: $6^2 + 10 = 36 + 10 = 46$. (Это двузначное число)

При $n=7$: $7^2 + 10 = 49 + 10 = 59$. (Это двузначное число)

При $n=8$: $8^2 + 10 = 64 + 10 = 74$. (Это двузначное число)

При $n=9$: $9^2 + 10 = 81 + 10 = 91$. (Это двузначное число)

Для следующего натурального числа $n=10$ получаем $10^2 = 100$, что больше 89. Значение выражения $10^2 + 10 = 110$ является трехзначным и не входит в множество $M$. Таким образом, подходящие значения $n$ — это натуральные числа от 1 до 9.

Соберем все полученные двузначные числа в множество $M$.

Ответ: $M = \{11, 14, 19, 26, 35, 46, 59, 74, 91\}$.

2 Приведите какое-нибудь словесное описание множества $M = \{10, 19, 28, 37, 46,..., 91\}$.

Для того чтобы дать словесное описание множества $M = \{10, 19, 28, 37, 46, ..., 91\}$, необходимо найти закономерность, по которой составлены его элементы.

Проанализируем данную последовательность чисел. Вычислим разность между соседними элементами:
$19 - 10 = 9$
$28 - 19 = 9$
$37 - 28 = 9$
$46 - 37 = 9$

Разность между любыми двумя последовательными элементами постоянна и равна 9. Это означает, что элементы множества M образуют конечную арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$, а ее разность $d = 9$.Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставив наши значения, получим формулу, задающую элементы множества M:
$a_n = 10 + (n-1) \cdot 9 = 10 + 9n - 9 = 9n + 1$.

Здесь $n$ — это порядковый номер элемента в последовательности. Найдем, какой номер имеет последний элемент, равный 91:
$a_n = 9n + 1 = 91$
$9n = 90$
$n = 10$

Таким образом, множество M состоит из десяти членов указанной арифметической прогрессии, где номер члена $n$ принимает натуральные значения от 1 до 10.

Из формулы $a_n = 9n + 1$ также следует, что каждый элемент множества при делении на 9 даёт в остатке 1. Это свойство можно использовать для словесного описания.

Ответ: Множество M — это множество натуральных чисел от 10 до 91 включительно, которые при делении на 9 дают в остатке 1.

3 Для множеств $A = [1; 4]$, $B = [2; 5]$ и $C = (3; 7]$ найдите множество $(A \cap B) \cup C$.

Для того чтобы найти множество $(A \cap B) \cup C$, необходимо выполнить действия в соответствии с порядком операций, указанным скобками. Сначала найдем пересечение множеств A и B, а затем — объединение полученного результата с множеством C.

Исходные множества представлены в виде числовых промежутков: $A = [1; 4]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $1 \le x \le 4$. $B = [2; 5]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $2 \le x \le 5$. $C = (3; 7]$ — это все действительные числа $x$ такие, что $3 < x \le 7$.

Шаг 1: Нахождение пересечения $A \cap B$

Операция пересечения ($ \cap $) находит общие элементы для заданных множеств. Нам нужно найти числа, которые одновременно принадлежат и промежутку $[1; 4]$, и промежутку $[2; 5]$. Визуализируя эти отрезки на числовой прямой, мы видим, что их общая часть начинается с левой границы второго отрезка (число 2) и заканчивается правой границей первого отрезка (число 4). Обе эти границы являются замкнутыми (включительными), так как скобки квадратные. Следовательно, результатом пересечения является отрезок $[2; 4]$. $A \cap B = [1; 4] \cap [2; 5] = [2; 4]$.

Шаг 2: Нахождение объединения $(A \cap B) \cup C$

Теперь необходимо выполнить операцию объединения ($ \cup $) для результата, полученного на первом шаге, и множества C. Нужно найти $(A \cap B) \cup C = [2; 4] \cup (3; 7]$. Операция объединения создает новое множество, которое включает в себя все элементы из обоих исходных множеств. Мы объединяем отрезок $[2; 4]$ (числа от 2 до 4 включительно) и полуинтервал $(3; 7]$ (числа больше 3 и до 7 включительно). Объединяя эти два промежутка, мы получаем один сплошной промежуток. Его левая граница будет наименьшим значением из обоих промежутков, то есть 2. Правая граница будет наибольшим значением, то есть 7. Так как 2 и 7 включены в исходные промежутки (квадратные скобки), они будут включены и в результирующий. Таким образом, $[2; 4] \cup (3; 7] = [2; 7]$.

Ответ: $[2; 7]$

4 Решите неравенство

$|4 - 3x| \ge 6.$

Данное неравенство $|4 - 3x| \ge 6$ является неравенством с модулем. Неравенство вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

Применим это свойство к исходному неравенству. Оно будет равносильно совокупности:
$4 - 3x \ge 6$ или $4 - 3x \le -6$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства:
$4 - 3x \ge 6$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x \ge 6 - 4$
$-3x \ge 2$
Разделим обе части на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x \le -\frac{2}{3}$

Решение второго неравенства:
$4 - 3x \le -6$
Перенесем 4 в правую часть:
$-3x \le -6 - 4$
$-3x \le -10$
Разделим обе части на -3, также изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{10}{3}$

Решением исходного неравенства является объединение полученных промежутков: $x \le -\frac{2}{3}$ или $x \ge \frac{10}{3}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{10}{3}; +\infty)$.

5 Найдите область определения выражения $\sqrt{8x - 15x^2 - 1}$.

Область определения выражения $\sqrt{8x - 15x^2 - 1}$ задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить следующее неравенство:

$8x - 15x^2 - 1 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный для удобства решения:

$15x^2 - 8x + 1 \le 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $15x^2 - 8x + 1 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 64 - 60 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 - 2}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{8 + 2}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Мы решаем неравенство $15x^2 - 8x + 1 \le 0$. Графиком функции $y = 15x^2 - 8x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку старший коэффициент $15 > 0$. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$.

Ответ: $[\frac{1}{5}; \frac{1}{3}]$