Страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.13 a) $$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 9x^2 - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0; \end{cases}$$

В) $$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0, \\ x^2 - 36 \ge 0; \end{cases}$$

Г) $$\begin{cases} 49x^2 - 1 < 0, \\ x^2 + 5x + 6 \ge 0. \end{cases}$$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0, \\ x^2 - 7x + 12 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 16 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-4)(x+4) \ge 0$.

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 16 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при значениях $x$ не входящих в интервал между корнями (включая сами корни, так как неравенство нестрогое).

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Неравенство можно переписать в виде $(x-3)(x-4) \ge 0$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение (общую часть) решений обоих неравенств.

Решение 1: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Объединяя эти условия, видим, что общими являются промежуток $(-\infty, -4]$ и промежуток $[4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 9x^2 - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $9x^2 - 1 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(3x-1)(3x+1) < 0$.

Корни соответствующего уравнения $9x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 1/3$. Ветви параболы $y = 9x^2 - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1/3, 1/3)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Неравенство можно записать как $(x-1)(x-2) \ge 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-1/3, 1/3)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.

Интервал $(-1/3, 1/3)$ полностью содержится в промежутке $(-\infty, 1]$. Следовательно, пересечением этих двух множеств является интервал $(-1/3, 1/3)$.

Ответ: $x \in (-1/3, 1/3)$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0, \\ x^2 - 36 \ge 0; \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 6x + 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение 8. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Неравенство можно записать как $(x-2)(x-4) < 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (2, 4)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 36 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x-6)(x+6) \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - 36 = 0$ равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 6$. Ветви параболы $y = x^2 - 36$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (2, 4)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -6] \cup [6, +\infty)$.

Множество чисел, принадлежащих интервалу $(2, 4)$, не имеет общих точек с множеством чисел, которые меньше или равны -6, или больше или равны 6. Пересечение множеств пусто.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 49x^2 - 1 < 0, \\ x^2 + 5x + 6 \ge 0. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $49x^2 - 1 < 0$.

Разложим на множители: $(7x-1)(7x+1) < 0$.

Корни уравнения $49x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1/7$ и $x_2 = 1/7$. Ветви параболы $y = 49x^2 - 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-1/7, 1/7)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, произведение 6. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.

Неравенство можно записать как $(x+3)(x+2) \ge 0$.

Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями (включая корни).

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений.

Решение 1: $x \in (-1/7, 1/7)$.

Решение 2: $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, +\infty)$.

Все числа из интервала $(-1/7, 1/7)$ больше, чем -2, поэтому этот интервал полностью содержится в промежутке $[-2, +\infty)$. Следовательно, пересечением является интервал $(-1/7, 1/7)$.

Ответ: $x \in (-1/7, 1/7)$.

4.14 а) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \geq 0, \\ 2x^2 - 5x + 2 \leq 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \geq 0, \\ x^2 - 6x + 8 \geq 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 9x + 14 > 0, \\ x^2 - 7x - 8 \leq 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \leq 0, \\ 2x^2 + 5x < 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ 2x^2 - 5x + 2 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x^2 - 5x + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 2$ также является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$).

Неравенство $2x^2 - 5x + 2 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая их.

Решение второго неравенства: $x \in [0.5; 2]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Для этого нужно найти общие значения для множеств $(-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$ и $[0.5; 2]$.

Пересекая эти множества, получаем интервал $[0.5; 1]$.

Ответ: $[0.5; 1]$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 8 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=8$, $x_1 \cdot x_2=15$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви вверх. Неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=6$, $x_1 \cdot x_2=8$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви вверх. Неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$ и $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3]$ с $(-\infty; 2]$ дает $(-\infty; 2]$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3]$ с $[4; +\infty)$ пусто.

Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $(-\infty; 2]$ пусто.

Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $[4; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 14 > 0 \\ x^2 - 7x - 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 9x + 14 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=9$, $x_1 \cdot x_2=14$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ с ветвями вверх. Неравенство строгое, поэтому решение: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x - 8 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=7$, $x_1 \cdot x_2=-8$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 7x - 8$ с ветвями вверх. Решение: $x \in [-1; 8]$.

3. Найдем пересечение множеств $(-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$ и $[-1; 8]$.

Пересечение $(-\infty; 2)$ и $[-1; 8]$ дает $[-1; 2)$.

Пересечение $(7; +\infty)$ и $[-1; 8]$ дает $(7; 8]$.

Объединяя эти два интервала, получаем решение системы.

Ответ: $[-1; 2) \cup (7; 8]$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \le 0 \\ 2x^2 + 5x < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x + 3 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=-4$, $x_1 \cdot x_2=3$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с ветвями вверх. Решение: $x \in [-3; -1]$.

2. Решим второе неравенство: $2x^2 + 5x < 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(2x + 5) < 0$.

Корни уравнения $x(2x + 5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -5/2 = -2.5$.

Парабола $y = 2x^2 + 5x$ с ветвями вверх. Неравенство строгое, поэтому решение: $x \in (-2.5; 0)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3; -1]$ и $(-2.5; 0)$.

Общей частью этих двух интервалов является интервал от $-2.5$ (не включая) до $-1$ (включая).

Ответ: $(-2.5; -1]$.

4.15 a) $-2 \leq 3x \leq 6;$

б) $-1 < -\frac{x}{6} < 1;$

В) $6 < -6x < 12;$

Г) $0 \leq \frac{x}{4} \leq 2.$

а) Дано двойное неравенство $-2 \le 3x \le 6$. Чтобы найти $x$, необходимо разделить все части неравенства на 3. Поскольку 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{-2}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{6}{3}$

Выполняем деление:

$-\frac{2}{3} \le x \le 2$

Ответ: $-\frac{2}{3} \le x \le 2$.

б) Дано двойное неравенство $-1 < \frac{x}{6} < 1$. Чтобы найти $x$, необходимо умножить все части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$-1 \cdot 6 < \frac{x}{6} \cdot 6 < 1 \cdot 6$

Выполняем умножение:

$-6 < x < 6$

Ответ: $-6 < x < 6$.

в) Дано двойное неравенство $6 < -6x < 12$. Чтобы найти $x$, необходимо разделить все части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{6}{-6} > \frac{-6x}{-6} > \frac{12}{-6}$

Выполняем деление:

$-1 > x > -2$

Запишем неравенство в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания:

$-2 < x < -1$

Ответ: $-2 < x < -1$.

г) Дано двойное неравенство $0 \le \frac{x}{4} \le 2$. Чтобы найти $x$, необходимо умножить все части неравенства на 4. Поскольку 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$0 \cdot 4 \le \frac{x}{4} \cdot 4 \le 2 \cdot 4$

Выполняем умножение:

$0 \le x \le 8$

Ответ: $0 \le x \le 8$.

4.16 a) $3 < x + 1 < 8$;

б) $-3 \leq 2x + 1 \leq 3$;

В) $-4 \leq x - 5 \leq 1$;

Г) $-8 < 3x + 4 < 1$.

а) Дано двойное неравенство $3 < x + 1 < 8$. Чтобы найти решение, необходимо изолировать переменную $x$ в средней части неравенства. Для этого выполним одинаковые операции со всеми тремя частями. Вычтем 1 из каждой части неравенства:
$3 - 1 < x + 1 - 1 < 8 - 1$
Выполнив вычитание, получаем:
$2 < x < 7$
Это означает, что $x$ находится в интервале от 2 до 7, не включая граничные значения.
Ответ: $x \in (2; 7)$

б) Дано двойное неравенство $-3 \le 2x + 1 \le 3$. Сначала вычтем 1 из всех частей, чтобы избавиться от свободного члена в средней части:
$-3 - 1 \le 2x + 1 - 1 \le 3 - 1$
$-4 \le 2x \le 2$
Теперь разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменяются:
$\frac{-4}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{2}{2}$
$-2 \le x \le 1$
Решением является числовой отрезок от -2 до 1, включая оба конца.
Ответ: $x \in [-2; 1]$

в) Дано двойное неравенство $-4 \le x - 5 \le 1$. Чтобы изолировать $x$, прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$-4 + 5 \le x - 5 + 5 \le 1 + 5$
Выполняем сложение:
$1 \le x \le 6$
Решением является числовой отрезок от 1 до 6, включая граничные значения.
Ответ: $x \in [1; 6]$

г) Дано двойное неравенство $-8 < 3x + 4 < 1$. Сначала вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-8 - 4 < 3x + 4 - 4 < 1 - 4$
$-12 < 3x < -3$
Теперь разделим все части на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства остаются прежними:
$\frac{-12}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{-3}{3}$
$-4 < x < -1$
Решением является интервал от -4 до -1, не включая концы.
Ответ: $x \in (-4; -1)$

4.17 a) $-2 \le 1 - 2x \le 2$;

б) $-1 \le \frac{6 - 2x}{4} \le 0$;

в) $-5 < 3 - 4x \le 3$;

г) $-3 < \frac{5x + 2}{2} < 1$.

а) Дано двойное неравенство $-2 \le 1 - 2x \le 2$.
Для его решения будем выполнять равносильные преобразования одновременно для всех трех частей.
1. Вычтем 1 из каждой части неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в центральной части:
$-2 - 1 \le 1 - 2x - 1 \le 2 - 1$
$-3 \le -2x \le 1$
2. Разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-3}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{1}{-2}$
$1,5 \ge x \ge -0,5$
3. Запишем полученное неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$-0,5 \le x \le 1,5$
Это означает, что $x$ принадлежит отрезку от -0,5 до 1,5, включая концы.
Ответ: $x \in [-0,5; 1,5]$.

б) Дано двойное неравенство $-1 \le \frac{6 - 2x}{4} \le 0$.
1. Умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$-1 \cdot 4 \le \frac{6 - 2x}{4} \cdot 4 \le 0 \cdot 4$
$-4 \le 6 - 2x \le 0$
2. Вычтем 6 из всех частей неравенства:
$-4 - 6 \le 6 - 2x - 6 \le 0 - 6$
$-10 \le -2x \le -6$
3. Разделим все части на -2, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-10}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{-6}{-2}$
$5 \ge x \ge 3$
4. Запишем в стандартном порядке:
$3 \le x \le 5$
Решением является отрезок от 3 до 5 включительно.
Ответ: $x \in [3; 5]$.

в) Дано двойное неравенство $-5 < 3 - 4x \le 3$.
1. Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-5 - 3 < 3 - 4x - 3 \le 3 - 3$
$-8 < -4x \le 0$
2. Разделим все части на -4. При этом знаки неравенства меняются на противоположные (строгий знак `>` меняется на `<`, а нестрогий `≤` на `≥`):
$\frac{-8}{-4} > \frac{-4x}{-4} \ge \frac{0}{-4}$
$2 > x \ge 0$
3. Запишем в стандартном порядке от меньшего к большему:
$0 \le x < 2$
Решением является полуинтервал от 0 (включительно) до 2 (не включительно).
Ответ: $x \in [0; 2)$.

г) Дано двойное неравенство $-3 < \frac{5x + 2}{2} < 1$.
1. Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется:
$-3 \cdot 2 < \frac{5x + 2}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$
$-6 < 5x + 2 < 2$
2. Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-6 - 2 < 5x + 2 - 2 < 2 - 2$
$-8 < 5x < 0$
3. Разделим все части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства не меняются:
$\frac{-8}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{0}{5}$
$-1,6 < x < 0$
Решением является интервал от -1,6 до 0, не включая концы.
Ответ: $x \in (-1,6; 0)$.

4.18 При каких значениях x:

a) значения двучлена $3 - 5x$ принадлежат интервалу $(-6; 6);

б) значения дроби $\frac{2x + 1}{3}$ принадлежат отрезку $[-4; 0]$?

а) Условие, что значения двучлена $3 - 5x$ принадлежат интервалу $(-6; 6)$, можно записать в виде двойного неравенства:

$-6 < 3 - 5x < 6$

Вычтем из всех частей неравенства число 3:

$-6 - 3 < 3 - 5x - 3 < 6 - 3$

$-9 < -5x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-9}{-5} > x > \frac{3}{-5}$

$\frac{9}{5} > x > -\frac{3}{5}$

Запишем полученный интервал в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{3}{5} < x < \frac{9}{5}$

Таким образом, $x$ принадлежит интервалу $(-\frac{3}{5}; \frac{9}{5})$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{5}; \frac{9}{5})$.

б) Условие, что значения дроби $\frac{2x+1}{3}$ принадлежат отрезку $[-4; 0]$, можно записать в виде двойного нестрогого неравенства:

$-4 \le \frac{2x+1}{3} \le 0$

Умножим все части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменяются:

$-4 \cdot 3 \le 2x + 1 \le 0 \cdot 3$

$-12 \le 2x + 1 \le 0$

Вычтем из всех частей неравенства число 1:

$-12 - 1 \le 2x \le 0 - 1$

$-13 \le 2x \le -1$

Разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-13}{2} \le x \le \frac{-1}{2}$

Таким образом, $x$ принадлежит отрезку $[-\frac{13}{2}; -\frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in [-\frac{13}{2}; -\frac{1}{2}]$.

4.19 a) Решите двойное неравенство $0 < 1 + 4x < 17$ и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.

б) Решите двойное неравенство $0 < 1 - 5x < 13$ и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.

а) Решим двойное неравенство $0 < 1 + 4x < 17$.
Для этого необходимо найти такие значения $x$, при которых выражение $1 + 4x$ будет одновременно больше 0 и меньше 17. Решать такое неравенство можно, выполняя одинаковые операции со всеми тремя его частями.
1. Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы в центре осталось только выражение с $x$:
$0 - 1 < 1 + 4x - 1 < 17 - 1$
$-1 < 4x < 16$
2. Разделим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$\frac{-1}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{16}{4}$
$-\frac{1}{4} < x < 4$
Для удобства можно представить дроби в виде десятичных чисел:
$-0.25 < x < 4$
3. Теперь найдем целые числа, которые находятся в этом интервале. Это все целые числа, которые больше, чем -0.25, и меньше, чем 4.
Целые решения: 0, 1, 2, 3.
Наименьшее из этих целых чисел — 0.
Наибольшее из этих целых чисел — 3.
Ответ: наименьшее целое решение — 0, наибольшее целое решение — 3.

б) Решим двойное неравенство $0 < 1 - 5x < 13$.
1. Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0 - 1 < 1 - 5x - 1 < 13 - 1$
$-1 < -5x < 12$
2. Разделим все части неравенства на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-1}{-5} > \frac{-5x}{-5} > \frac{12}{-5}$
$\frac{1}{5} > x > -\frac{12}{5}$
3. Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-\frac{12}{5} < x < \frac{1}{5}$
Представим дроби в виде десятичных чисел:
$-2.4 < x < 0.2$
4. Найдем целые числа, которые находятся в этом интервале. Это все целые числа, которые больше, чем -2.4, и меньше, чем 0.2.
Целые решения: -2, -1, 0.
Наименьшее из этих целых чисел — -2.
Наибольшее из этих целых чисел — 0.
Ответ: наименьшее целое решение — -2, наибольшее целое решение — 0.

4.20 Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{12 - 3x} + \sqrt{x + 2}$;

б) $\sqrt{15 - 3x} + \sqrt{4 + x}$;

в) $\sqrt{15x - 30} + \sqrt{4 - x}$;

г) $\sqrt{6x - 18} + \sqrt{x + 1}$.

а)

Область определения выражения $\sqrt{12 - 3x} + \sqrt{x + 2}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия, которые образуют систему неравенств:

$\begin{cases} 12 - 3x \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) Решаем первое неравенство:

$12 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -12$

При делении обеих частей на отрицательное число $-3$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-12}{-3}$

$x \le 4$

2) Решаем второе неравенство:

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Областью определения является пересечение решений этих неравенств, то есть все значения $x$, удовлетворяющие одновременно условиям $x \le 4$ и $x \ge -2$.

Геометрически это отрезок на числовой прямой между $-2$ и $4$, включая концы. В виде двойного неравенства это записывается как $-2 \le x \le 4$.

Ответ: $[-2; 4]$.

б)

Для нахождения области определения выражения $\sqrt{15 - 3x} + \sqrt{4 + x}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были больше или равны нулю. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 15 - 3x \ge 0 \\ 4 + x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$15 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -15$

$x \le \frac{-15}{-3}$

$x \le 5$

Решим второе неравенство:

$4 + x \ge 0$

$x \ge -4$

Пересечением решений $x \le 5$ и $x \ge -4$ является промежуток, который можно записать как двойное неравенство: $-4 \le x \le 5$.

Ответ: $[-4; 5]$.

в)

Область определения выражения $\sqrt{15x - 30} + \sqrt{4 - x}$ задается системой неравенств, в которой подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} 15x - 30 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$15x - 30 \ge 0$

$15x \ge 30$

$x \ge \frac{30}{15}$

$x \ge 2$

Решим второе неравенство:

$4 - x \ge 0$

$-x \ge -4$

$x \le 4$

Пересечением решений $x \ge 2$ и $x \le 4$ является промежуток, где $x$ находится между 2 и 4 включительно: $2 \le x \le 4$.

Ответ: $[2; 4]$.

г)

Для выражения $\sqrt{6x - 18} + \sqrt{x + 1}$ область определения находится из условия неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} 6x - 18 \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$6x - 18 \ge 0$

$6x \ge 18$

$x \ge \frac{18}{6}$

$x \ge 3$

Решим второе неравенство:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Необходимо найти пересечение множеств $x \ge 3$ и $x \ge -1$. Оба неравенства выполняются одновременно, если выполняется более сильное (ограничивающее) из них, то есть $x \ge 3$.

В виде промежутка это записывается как луч, идущий от 3 вправо, включая точку 3.

Ответ: $[3; +\infty)$.