Номер 4.14, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.14 а) $\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \geq 0, \\ 2x^2 - 5x + 2 \leq 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \geq 0, \\ x^2 - 6x + 8 \geq 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} x^2 - 9x + 14 > 0, \\ x^2 - 7x - 8 \leq 0; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \leq 0, \\ 2x^2 + 5x < 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 \ge 0 \\ 2x^2 - 5x + 2 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 5x + 4 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x^2 - 5x + 2 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Графиком функции $y = 2x^2 - 5x + 2$ также является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$).

Неравенство $2x^2 - 5x + 2 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая их.

Решение второго неравенства: $x \in [0.5; 2]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Для этого нужно найти общие значения для множеств $(-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$ и $[0.5; 2]$.

Пересекая эти множества, получаем интервал $[0.5; 1]$.

Ответ: $[0.5; 1]$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 15 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 8 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=8$, $x_1 \cdot x_2=15$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ имеет ветви вверх. Неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=6$, $x_1 \cdot x_2=8$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви вверх. Неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$ и $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3]$ с $(-\infty; 2]$ дает $(-\infty; 2]$.

Пересечение интервала $(-\infty; 3]$ с $[4; +\infty)$ пусто.

Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $(-\infty; 2]$ пусто.

Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $[4; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [5; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9x + 14 > 0 \\ x^2 - 7x - 8 \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 - 9x + 14 > 0$.

Корни уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=9$, $x_1 \cdot x_2=14$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.

Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ с ветвями вверх. Неравенство строгое, поэтому решение: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x - 8 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=7$, $x_1 \cdot x_2=-8$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 7x - 8$ с ветвями вверх. Решение: $x \in [-1; 8]$.

3. Найдем пересечение множеств $(-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$ и $[-1; 8]$.

Пересечение $(-\infty; 2)$ и $[-1; 8]$ дает $[-1; 2)$.

Пересечение $(7; +\infty)$ и $[-1; 8]$ дает $(7; 8]$.

Объединяя эти два интервала, получаем решение системы.

Ответ: $[-1; 2) \cup (7; 8]$.

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 3 \le 0 \\ 2x^2 + 5x < 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^2 + 4x + 3 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1+x_2=-4$, $x_1 \cdot x_2=3$. Корни: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с ветвями вверх. Решение: $x \in [-3; -1]$.

2. Решим второе неравенство: $2x^2 + 5x < 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(2x + 5) < 0$.

Корни уравнения $x(2x + 5) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -5/2 = -2.5$.

Парабола $y = 2x^2 + 5x$ с ветвями вверх. Неравенство строгое, поэтому решение: $x \in (-2.5; 0)$.

3. Найдем пересечение решений: $[-3; -1]$ и $(-2.5; 0)$.

Общей частью этих двух интервалов является интервал от $-2.5$ (не включая) до $-1$ (включая).

Ответ: $(-2.5; -1]$.