Номер 4.12, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.12 a) $\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x} \ge 0, \\ 2x - 1 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{(x + 5)(x - 1)}{x} \ge 0, \\ 10x - 1 < 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{25 - x^2}{x} \le 0, \\ 5x - 10 \ge 35; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0, \\ 20x \ge 20. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x} \geqslant 0 \\ 2x - 1 \geqslant 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{x^2 - 9}{x} \geqslant 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x} \geqslant 0$.
Найдем нули числителя ($x = 3$, $x = -3$) и нули знаменателя ($x = 0$).
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-3$ и $3$ (включительно, так как неравенство нестрогое), $0$ (исключительно, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
- при $x > 3$, выражение положительно;
- при $0 < x < 3$, выражение отрицательно;
- при $-3 < x < 0$, выражение положительно;
- при $x < -3$, выражение отрицательно.
Так как неравенство $\geqslant 0$, выбираем промежутки со знаком плюс, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-3, 0) \cup [3, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $2x - 1 \geqslant 0$.
$2x \geqslant 1$
$x \geqslant \frac{1}{2}$
Решение второго неравенства: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-3, 0) \cup [3, +\infty)$ и $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$ является промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x+5)(x-1)}{x} \geqslant 0 \\ 10x - 1 < 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{(x+5)(x-1)}{x} \geqslant 0$.
Нули числителя: $x = -5, x = 1$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-5$ и $1$ (включительно), $0$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 1$, выражение положительно;
- при $0 < x < 1$, выражение отрицательно;
- при $-5 < x < 0$, выражение положительно;
- при $x < -5$, выражение отрицательно.
Выбираем промежутки со знаком плюс, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 0) \cup [1, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $10x - 1 < 0$.
$10x < 1$
$x < \frac{1}{10}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{10})$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-5, 0) \cup [1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, \frac{1}{10})$ является промежуток $[-5, 0)$.
Ответ: $x \in [-5, 0)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{25 - x^2}{x} \leqslant 0 \\ 5x - 10 \geqslant 35 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{25 - x^2}{x} \leqslant 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(5 - x)(5 + x)}{x} \leqslant 0$.
Нули числителя: $x = 5, x = -5$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-5$ и $5$ (включительно), $0$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$, выражение отрицательно;
- при $0 < x < 5$, выражение положительно;
- при $-5 < x < 0$, выражение отрицательно;
- при $x < -5$, выражение положительно.
Выбираем промежутки со знаком минус, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 0) \cup [5, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $5x - 10 \geqslant 35$.
$5x \geqslant 35 + 10$
$5x \geqslant 45$
$x \geqslant 9$
Решение второго неравенства: $x \in [9, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-5, 0) \cup [5, +\infty)$ и $x \in [9, +\infty)$ является промежуток $[9, +\infty)$.
Ответ: $x \in [9, +\infty)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0 \\ 20x \geqslant 20 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0$.
Найдем нули числителя ($x = 2, x = -3$) и нули знаменателя ($x = 0, x = -7$).
Применим метод интервалов. Отметим все точки на числовой оси выколотыми, так как неравенство строгое. Точки: $-7, -3, 0, 2$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 2$, выражение положительно;
- при $0 < x < 2$, выражение отрицательно;
- при $-3 < x < 0$, выражение положительно;
- при $-7 < x < -3$, выражение отрицательно;
- при $x < -7$, выражение положительно.
Выбираем промежутки со знаком минус.
Решение первого неравенства: $x \in (-7, -3) \cup (0, 2)$.
2. Решим второе неравенство $20x \geqslant 20$.
$x \geqslant 1$
Решение второго неравенства: $x \in [1, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in (-7, -3) \cup (0, 2)$ и $x \in [1, +\infty)$ является промежуток $[1, 2)$.
Ответ: $x \in [1, 2)$.