Номер 4.11, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4.11 a) $\begin{cases} 3x^2 + x + 2 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} -7x^2 + 5x - 2 > 0, \\ x^2 \le 25; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 10 > 0, \\ x^2 \ge 16; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} -5x^2 + x - 1 > 0, \\ x^2 > 81. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 3x^2 + x + 2 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $3x^2 + x + 2 > 0$.
Это квадратичное неравенство. Рассмотрим соответствующую функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0).Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + x + 2$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 2 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 9$.
Это равносильно неравенству $x^2 - 9 < 0$, или $(x-3)(x+3) < 0$.Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $(x-3)(x+3) < 0$ выполняется между корнями.
Решение этого неравенства: $-3 < x < 3$, или $x \in (-3; 3)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-3; 3)$.
Пересечением является интервал $(-3; 3)$.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.

б) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} -7x^2 + 5x - 2 > 0, \\ x^2 \le 25; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-7x^2 + 5x - 2 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -7 < 0).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 25 - 56 = -31$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вниз, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-7x^2 + 5x - 2$ всегда отрицательно.
Следовательно, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 > 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система также не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 2x^2 + 5x + 10 > 0, \\ x^2 \ge 16; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x + 10 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 5x + 10$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 25 - 80 = -55$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Неравенство $2x^2 + 5x + 10 > 0$ выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \ge 16$.
Это равносильно $x^2 - 16 \ge 0$, или $(x-4)(x+4) \ge 0$.
Корни уравнения $(x-4)(x+4)=0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на участках вне корней, включая сами корни.
Решение этого неравенства: $x \le -4$ или $x \ge 4$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty) \cap ((-\infty; -4] \cup [4; +\infty))$.
Пересечением является множество $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

г) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} -5x^2 + x - 1 > 0, \\ x^2 > 81. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-5x^2 + x - 1 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + x - 1$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-5 < 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-1) = 1 - 20 = -19$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз, вся парабола находится ниже оси Ox, то есть выражение $-5x^2 + x - 1$ всегда отрицательно.
Следовательно, неравенство $-5x^2 + x - 1 > 0$ не имеет решений.

Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений.