Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4.7 a)$\begin{cases} 0,4x - 1 \leq 0, \\ 2,3x \geq 4,6; \end{cases}$

б)$\begin{cases} 1,5t + 4,5 \leq 0, \\ \frac{1}{3}t > -1; \end{cases}$

в)$\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6; \end{cases}$

г)$\begin{cases} \frac{5}{6}z - 10 \leq 0, \\ \frac{1}{9}z \geq 1\frac{1}{3}. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 0,4x - 1 \le 0, \\ 2,3x \ge 4,6; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $0,4x - 1 \le 0$

Перенесем $-1$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$0,4x \le 1$

Разделим обе части на $0,4$ (так как $0,4 > 0$, знак неравенства не меняется):

$x \le \frac{1}{0,4}$

$x \le 2,5$

2) $2,3x \ge 4,6$

Разделим обе части на $2,3$ (так как $2,3 > 0$, знак неравенства не меняется):

$x \ge \frac{4,6}{2,3}$

$x \ge 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le 2,5$ и $x \ge 2$.

Объединив эти два условия, получаем двойное неравенство: $2 \le x \le 2,5$.

В виде интервала это записывается как $[2; 2,5]$.

Ответ: $[2; 2,5]$

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1,5t + 4,5 \le 0, \\ \frac{1}{3}t > -1; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $1,5t + 4,5 \le 0$

Перенесем $4,5$ в правую часть:

$1,5t \le -4,5$

Разделим обе части на $1,5$:

$t \le \frac{-4,5}{1,5}$

$t \le -3$

2) $\frac{1}{3}t > -1$

Умножим обе части на $3$ (знак неравенства не меняется):

$t > -1 \cdot 3$

$t > -3$

Найдем пересечение решений: $t \le -3$ и $t > -3$.

Не существует такого значения $t$, которое одновременно было бы меньше или равно $-3$ и строго больше $-3$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений)

в)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $0,3x > 4$

Разделим обе части на $0,3$:

$x > \frac{4}{0,3}$

$x > \frac{40}{3}$

$x > 13\frac{1}{3}$

2) $0,2x + 1 < 6$

Перенесем $1$ в правую часть:

$0,2x < 6 - 1$

$0,2x < 5$

Разделим обе части на $0,2$:

$x < \frac{5}{0,2}$

$x < 25$

Найдем пересечение решений: $x > 13\frac{1}{3}$ и $x < 25$.

Это соответствует двойному неравенству $13\frac{1}{3} < x < 25$.

В виде интервала это записывается как $(13\frac{1}{3}; 25)$.

Ответ: $(13\frac{1}{3}; 25)$

г)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{5}{6}z - 10 \le 0, \\ \frac{1}{9}z \ge 1\frac{1}{3}; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1) $\frac{5}{6}z - 10 \le 0$

Перенесем $-10$ в правую часть:

$\frac{5}{6}z \le 10$

Умножим обе части на $\frac{6}{5}$:

$z \le 10 \cdot \frac{6}{5}$

$z \le \frac{60}{5}$

$z \le 12$

2) $\frac{1}{9}z \ge 1\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

$\frac{1}{9}z \ge \frac{4}{3}$

Умножим обе части на $9$:

$z \ge \frac{4}{3} \cdot 9$

$z \ge 4 \cdot 3$

$z \ge 12$

Найдем пересечение решений: $z \le 12$ и $z \ge 12$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это $12$.

Ответ: $\{12\}$

4.8 а) $\begin{cases} 5x - 7 > -14 + 3x, \\ -4x + 5 > 29 + 2x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x + 3 \le 2x + 1, \\ 3x - 2 \le 4x + 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 1 - 12x < 3x + 1, \\ 2 - 6x > 4 + 4x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4x + 2 \ge 5x + 3, \\ 2 - 3x < 7 - 2x. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 7 > -14 + 3x, \\ -4x + 5 > 29 + 2x. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$5x - 7 > -14 + 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 3x > -14 + 7$

$2x > -7$

Разделим обе части на 2:

$x > -3.5$

2. Решим второе неравенство:

$-4x + 5 > 29 + 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-4x - 2x > 29 - 5$

$-6x > 24$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{24}{-6}$

$x < -4$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x > -3.5$ и $x < -4$.

$\begin{cases} x > -3.5, \\ x < -4. \end{cases}$

На числовой оси эти два множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно больше -3.5 и меньше -4.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x + 3 \le 2x + 1, \\ 3x - 2 \le 4x + 2. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3x + 3 \le 2x + 1$

$3x - 2x \le 1 - 3$

$x \le -2$

2. Решим второе неравенство:

$3x - 2 \le 4x + 2$

$3x - 4x \le 2 + 2$

$-x \le 4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -4$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \le -2$ и $x \ge -4$.

$\begin{cases} x \le -2, \\ x \ge -4. \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $-4 \le x \le -2$.

Решением системы является промежуток $[-4, -2]$.

Ответ: $x \in [-4, -2]$.

в) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 1 - 12x < 3x + 1, \\ 2 - 6x > 4 + 4x. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$1 - 12x < 3x + 1$

$-12x - 3x < 1 - 1$

$-15x < 0$

Разделим обе части на -15, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

2. Решим второе неравенство:

$2 - 6x > 4 + 4x$

$-6x - 4x > 4 - 2$

$-10x > 2$

Разделим обе части на -10, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{2}{-10}$

$x < -0.2$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x > 0$ и $x < -0.2$.

$\begin{cases} x > 0, \\ x < -0.2. \end{cases}$

На числовой оси эти два множества не пересекаются, так как нет чисел, которые одновременно больше 0 и меньше -0.2.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

г) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 2 \ge 5x + 3, \\ 2 - 3x < 7 - 2x. \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$4x + 2 \ge 5x + 3$

$4x - 5x \ge 3 - 2$

$-x \ge 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -1$

2. Решим второе неравенство:

$2 - 3x < 7 - 2x$

$-3x + 2x < 7 - 2$

$-x < 5$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > -5$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x \le -1$ и $x > -5$.

$\begin{cases} x \le -1, \\ x > -5. \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $-5 < x \le -1$.

Решением системы является промежуток $(-5, -1]$.

Ответ: $x \in (-5, -1]$.

Решите систему неравенств.

4.9 a) $ \begin{cases} 2x - 4 \geq 0, \\ x^2 - 7x + 12 < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 5x - 10 > 15, \\ x^2 + x - 6 \leq 0; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 3x - 1 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \geq 0; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 3x - 10 > 5x - 5, \\ x^2 + 5x + 6 < 0. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 - 7x + 12 < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $2x - 4 \ge 0$.
$2x \ge 4$
$x \ge 2$.
Решением является промежуток $[2, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 12 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы $y = x^2 - 7x + 12$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 7x + 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $3 < x < 4$. Решением является промежуток $(3, 4)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[2, +\infty) \cap (3, 4)$.
Пересечением этих промежутков является интервал $(3, 4)$.
Ответ: $(3, 4)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x - 10 > 15 \\ x^2 + x - 6 \le 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $5x - 10 > 15$.
$5x > 25$
$x > 5$.
Решением является промежуток $(5, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $-3 \le x \le 2$. Решением является промежуток $[-3, 2]$.
3. Найдем пересечение решений: $(5, +\infty) \cap [-3, 2]$.
Данные множества не имеют общих точек, их пересечение пусто.
Ответ: Нет решений.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 1 < 0 \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $3x - 1 < 0$.
$3x < 1$
$x < \frac{1}{3}$.
Решением является промежуток $(-\infty, \frac{1}{3})$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \le 1$ или $x \ge 2$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, \frac{1}{3}) \cap ((-\infty, 1] \cup [2, +\infty))$.
Пересечением является интервал $(-\infty, \frac{1}{3})$.
Ответ: $(-\infty, \frac{1}{3})$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3x - 10 > 5x - 5 \\ x^2 + 5x + 6 < 0 \end{cases} $
1. Решим первое неравенство: $3x - 10 > 5x - 5$.
$3x - 5x > 10 - 5$
$-2x > 5$
$x < -\frac{5}{2}$.
Решением является промежуток $(-\infty, -2.5)$.
2. Решим второе неравенство: $x^2 + 5x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 + 5x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $-3 < x < -2$. Решением является промежуток $(-3, -2)$.
3. Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2.5) \cap (-3, -2)$.
Пересечением этих промежутков является интервал $(-3, -2.5)$.
Ответ: $(-3, -2.5)$.

4.10 а) $\begin{cases} 7x^2 - x + 3 \le 0, \\ 2x + 3 > 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -3x^2 + 2x - 1 \le 0, \\ 6x > 3(x + 1) - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5x^2 - 2x + 1 \le 0, \\ 2(x + 3) - (x - 8) < 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -2x^2 + 3x - 2 < 0, \\ -3(6x - 1) - 2x < x. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 7x^2 - x + 3 \le 0, \\ 2x + 3 > 7; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $7x^2 - x + 3 \le 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 7x^2 - x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 7 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $7x^2 - x + 3 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 1 - 84 = -83$.

Так как дискриминант $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх ($a > 0$), то квадратный трехчлен $7x^2 - x + 3$ принимает только положительные значения при любых значениях $x$. Следовательно, неравенство $7x^2 - x + 3 \le 0$ не имеет решений.

2. Решим второе неравенство: $2x + 3 > 7$.

$2x > 7 - 3$

$2x > 4$

$x > 2$

Решением второго неравенства является промежуток $(2; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений. Так как первое неравенство не имеет решений (решение - пустое множество $\emptyset$), то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -3x^2 + 2x - 1 \le 0, \\ 6x > 3(x + 1) - 1; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $-3x^2 + 2x - 1 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 2x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -3 < 0$). Найдем дискриминант уравнения $-3x^2 + 2x - 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, квадратный трехчлен $-3x^2 + 2x - 1$ принимает только отрицательные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $-3x^2 + 2x - 1 \le 0$ выполняется для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6x > 3(x + 1) - 1$.

$6x > 3x + 3 - 1$

$6x > 3x + 2$

$3x > 2$

$x > \frac{2}{3}$

Решением второго неравенства является промежуток $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; +\infty) \cap (\frac{2}{3}; +\infty) = (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 2x + 1 \le 0, \\ 2(x + 3) - (x - 8) < 4; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $5x^2 - 2x + 1 \le 0$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 - 2x + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 5 > 0$). Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$ и $a > 0$, квадратный трехчлен $5x^2 - 2x + 1$ принимает только положительные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $5x^2 - 2x + 1 \le 0$ не имеет решений.

2. Решим второе неравенство: $2(x + 3) - (x - 8) < 4$.

$2x + 6 - x + 8 < 4$

$x + 14 < 4$

$x < 4 - 14$

$x < -10$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; -10)$.

3. Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -2x^2 + 3x - 2 < 0, \\ -3(6x - 1) - 2x < x; \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство: $-2x^2 + 3x - 2 < 0$.

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 3x - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -2 < 0$). Найдем дискриминант уравнения $-2x^2 + 3x - 2 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$ и $a < 0$, квадратный трехчлен $-2x^2 + 3x - 2$ принимает только отрицательные значения при любых $x$. Следовательно, неравенство $-2x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $-3(6x - 1) - 2x < x$.

$-18x + 3 - 2x < x$

$-20x + 3 < x$

$3 < x + 20x$

$3 < 21x$

$x > \frac{3}{21}$

$x > \frac{1}{7}$

Решением второго неравенства является промежуток $(\frac{1}{7}; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений: $(-\infty; +\infty) \cap (\frac{1}{7}; +\infty) = (\frac{1}{7}; +\infty)$.

Ответ: $(\frac{1}{7}; +\infty)$.

4.11 a) $\begin{cases} 3x^2 + x + 2 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} -7x^2 + 5x - 2 > 0, \\ x^2 \le 25; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x^2 + 5x + 10 > 0, \\ x^2 \ge 16; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} -5x^2 + x - 1 > 0, \\ x^2 > 81. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 3x^2 + x + 2 > 0, \\ x^2 < 9; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $3x^2 + x + 2 > 0$.
Это квадратичное неравенство. Рассмотрим соответствующую функцию $y = 3x^2 + x + 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0).Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + x + 2$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $3x^2 + x + 2 > 0$ выполняется для любых действительных значений $x$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 < 9$.
Это равносильно неравенству $x^2 - 9 < 0$, или $(x-3)(x+3) < 0$.Корни соответствующего уравнения $x^2 - 9 = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $(x-3)(x+3) < 0$ выполняется между корнями.
Решение этого неравенства: $-3 < x < 3$, или $x \in (-3; 3)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; +\infty) \cap (-3; 3)$.
Пересечением является интервал $(-3; 3)$.
Ответ: $x \in (-3; 3)$.

б) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} -7x^2 + 5x - 2 > 0, \\ x^2 \le 25; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-7x^2 + 5x - 2 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = -7x^2 + 5x - 2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -7 < 0).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 25 - 56 = -31$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и ветви параболы направлены вниз, вся парабола находится ниже оси Ox. Это означает, что выражение $-7x^2 + 5x - 2$ всегда отрицательно.
Следовательно, неравенство $-7x^2 + 5x - 2 > 0$ не имеет решений.

Поскольку первое неравенство системы не имеет решений, вся система также не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 2x^2 + 5x + 10 > 0, \\ x^2 \ge 16; \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $2x^2 + 5x + 10 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = 2x^2 + 5x + 10$. Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 25 - 80 = -55$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси Ox. Неравенство $2x^2 + 5x + 10 > 0$ выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \ge 16$.
Это равносильно $x^2 - 16 \ge 0$, или $(x-4)(x+4) \ge 0$.
Корни уравнения $(x-4)(x+4)=0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на участках вне корней, включая сами корни.
Решение этого неравенства: $x \le -4$ или $x \ge 4$. В виде интервалов: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in (-\infty; +\infty) \cap ((-\infty; -4] \cup [4; +\infty))$.
Пересечением является множество $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

г) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} -5x^2 + x - 1 > 0, \\ x^2 > 81. \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $-5x^2 + x - 1 > 0$.
Рассмотрим функцию $y = -5x^2 + x - 1$. Ветви параболы направлены вниз ($a=-5 < 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-1) = 1 - 20 = -19$.
Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вниз, вся парабола находится ниже оси Ox, то есть выражение $-5x^2 + x - 1$ всегда отрицательно.
Следовательно, неравенство $-5x^2 + x - 1 > 0$ не имеет решений.

Так как первое неравенство системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

4.12 a) $\begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x} \ge 0, \\ 2x - 1 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{(x + 5)(x - 1)}{x} \ge 0, \\ 10x - 1 < 0; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{25 - x^2}{x} \le 0, \\ 5x - 10 \ge 35; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0, \\ 20x \ge 20. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x} \geqslant 0 \\ 2x - 1 \geqslant 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{x^2 - 9}{x} \geqslant 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x} \geqslant 0$.
Найдем нули числителя ($x = 3$, $x = -3$) и нули знаменателя ($x = 0$).
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-3$ и $3$ (включительно, так как неравенство нестрогое), $0$ (исключительно, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
- при $x > 3$, выражение положительно;
- при $0 < x < 3$, выражение отрицательно;
- при $-3 < x < 0$, выражение положительно;
- при $x < -3$, выражение отрицательно.
Так как неравенство $\geqslant 0$, выбираем промежутки со знаком плюс, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-3, 0) \cup [3, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $2x - 1 \geqslant 0$.
$2x \geqslant 1$
$x \geqslant \frac{1}{2}$
Решение второго неравенства: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-3, 0) \cup [3, +\infty)$ и $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$ является промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x+5)(x-1)}{x} \geqslant 0 \\ 10x - 1 < 0 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{(x+5)(x-1)}{x} \geqslant 0$.
Нули числителя: $x = -5, x = 1$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-5$ и $1$ (включительно), $0$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 1$, выражение положительно;
- при $0 < x < 1$, выражение отрицательно;
- при $-5 < x < 0$, выражение положительно;
- при $x < -5$, выражение отрицательно.
Выбираем промежутки со знаком плюс, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 0) \cup [1, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $10x - 1 < 0$.
$10x < 1$
$x < \frac{1}{10}$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{10})$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-5, 0) \cup [1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, \frac{1}{10})$ является промежуток $[-5, 0)$.
Ответ: $x \in [-5, 0)$.

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{25 - x^2}{x} \leqslant 0 \\ 5x - 10 \geqslant 35 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{25 - x^2}{x} \leqslant 0$.
Разложим числитель на множители: $\frac{(5 - x)(5 + x)}{x} \leqslant 0$.
Нули числителя: $x = 5, x = -5$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой оси: $-5$ и $5$ (включительно), $0$ (исключительно).
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$, выражение отрицательно;
- при $0 < x < 5$, выражение положительно;
- при $-5 < x < 0$, выражение отрицательно;
- при $x < -5$, выражение положительно.
Выбираем промежутки со знаком минус, включая нули числителя.
Решение первого неравенства: $x \in [-5, 0) \cup [5, +\infty)$.
2. Решим второе неравенство $5x - 10 \geqslant 35$.
$5x \geqslant 35 + 10$
$5x \geqslant 45$
$x \geqslant 9$
Решение второго неравенства: $x \in [9, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in [-5, 0) \cup [5, +\infty)$ и $x \in [9, +\infty)$ является промежуток $[9, +\infty)$.
Ответ: $x \in [9, +\infty)$.

г) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0 \\ 20x \geqslant 20 \end{cases} $$ 1. Решим первое неравенство $\frac{(x - 2)(x + 3)}{x(x + 7)} < 0$.
Найдем нули числителя ($x = 2, x = -3$) и нули знаменателя ($x = 0, x = -7$).
Применим метод интервалов. Отметим все точки на числовой оси выколотыми, так как неравенство строгое. Точки: $-7, -3, 0, 2$.
Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 2$, выражение положительно;
- при $0 < x < 2$, выражение отрицательно;
- при $-3 < x < 0$, выражение положительно;
- при $-7 < x < -3$, выражение отрицательно;
- при $x < -7$, выражение положительно.
Выбираем промежутки со знаком минус.
Решение первого неравенства: $x \in (-7, -3) \cup (0, 2)$.
2. Решим второе неравенство $20x \geqslant 20$.
$x \geqslant 1$
Решение второго неравенства: $x \in [1, +\infty)$.
3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.
Пересечением множеств $x \in (-7, -3) \cup (0, 2)$ и $x \in [1, +\infty)$ является промежуток $[1, 2)$.
Ответ: $x \in [1, 2)$.