Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют частным решением неравенства с одной переменной?

1.

Частным решением неравенства с одной переменной называют такое значение этой переменной, при подстановке которого в исходное неравенство получается верное числовое неравенство.

Иными словами, если у нас есть неравенство, содержащее переменную (например, $x$), то любое конкретное число, которое можно подставить вместо $x$ и получить истинное утверждение (например, $7 > 4$), является частным решением этого неравенства.

Рассмотрим это на примере. Пусть дано неравенство:
$5x - 8 > 2$

Чтобы проверить, является ли какое-либо число частным решением, подставим его вместо переменной $x$.

Проверка для $x = 3$:
Подставим число $3$ в неравенство:
$5 \cdot 3 - 8 > 2$
$15 - 8 > 2$
$7 > 2$
Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, значение $x = 3$ является частным решением неравенства $5x - 8 > 2$.

Проверка для $x = 1$:
Подставим число $1$ в неравенство:
$5 \cdot 1 - 8 > 2$
$5 - 8 > 2$
$-3 > 2$
Мы получили неверное числовое неравенство. Следовательно, значение $x = 1$ не является частным решением данного неравенства.

Важно отметить, что неравенства, как правило, имеют бесконечное множество частных решений. Совокупность всех частных решений называется решением неравенства и обычно представляется в виде числового промежутка или их объединения. Для неравенства из примера $5x - 8 > 2$ решением является промежуток $(2; +\infty)$, и любое число из этого промежутка (например, $2.1$, $3$, $10$, $1000$) будет его частным решением.

Ответ: Частным решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство.

2. Что называют общим решением (или просто решением) неравенства с одной переменной?

Для того чтобы понять, что такое общее решение неравенства, сначала определим, что такое частное решение. Частным решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим неравенство $x > 5$.

• Если подставить $x = 7$, получится верное числовое неравенство $7 > 5$. Значит, $x = 7$ — это частное решение.
• Если подставить $x = 100$, получится верное числовое неравенство $100 > 5$. Значит, $x = 100$ — тоже частное решение.
• Если же подставить $x = 3$, получится неверное неравенство $3 > 5$. Следовательно, $x = 3$ не является решением.

Как правило, неравенства имеют бесконечно много частных решений. Совокупность (множество) всех таких частных решений и называется общим решением неравенства.

Общим решением (или просто решением) неравенства с одной переменной называют множество всех значений переменной, которые удовлетворяют этому неравенству.

Решить неравенство — это значит найти все его решения (то есть его общее решение) или доказать, что решений нет. Множество решений обычно записывают в виде числовых промежутков, их объединений или, в некоторых случаях, в виде отдельных точек.

Примеры:

• Решением неравенства $x > 5$ является множество всех чисел, которые больше 5. Это множество записывают как числовой промежуток $(5; +\infty)$.
• Решением неравенства $x^2 \le 4$ является множество всех чисел, удовлетворяющих условию $-2 \le x \le 2$. Это множество записывают как отрезок $[-2; 2]$.
• Неравенство $x^2 < -1$ не имеет решений среди действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. В этом случае говорят, что множество решений пусто, и записывают: $\emptyset$.

Таким образом, в отличие от решения простого уравнения, которое чаще всего представляет собой одно или несколько чисел, решение неравенства — это всегда множество.

Ответ: Общим решением (или просто решением) неравенства с одной переменной называется множество всех значений переменной, при каждом из которых данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

3. Сформулируйте правила, с помощью которых решают неравенства с одной переменной.

Решение неравенства с одной переменной — это нахождение множества всех значений переменной, при которых данное неравенство является верным. Это множество обычно представляет собой числовой промежуток или объединение промежутков. Процесс решения основан на последовательных преобразованиях исходного неравенства в более простое, но равносильное ему. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Основные правила для решения неравенств основаны на свойствах числовых неравенств.

Правило 1: Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

Любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Знак самого неравенства при этом не меняется. Это преобразование равносильно прибавлению или вычитанию одного и того же числа или выражения к обеим частям неравенства.
Например, если у нас есть неравенство $f(x) + g(x) > h(x)$, мы можем перенести $g(x)$ в правую часть: $f(x) > h(x) - g(x)$.
Пример: Решить неравенство $3x + 5 > 8$.
Перенесем число 5 из левой части в правую, изменив знак: $3x > 8 - 5$, что равносильно $3x > 3$.

Правило 2: Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. При этом знак неравенства сохраняется.
Если $c > 0$ и $a > b$, то $ac > bc$ и $a/c > b/c$.
Пример: Продолжим решение неравенства $3x > 3$.
Разделим обе части на положительное число 3. Знак `>` сохранится: $x > 3 / 3$, что равносильно $x > 1$. Решением является интервал $(1, +\infty)$.

Правило 3: Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число

Это ключевое правило, отличающее решение неравенств от решения уравнений. При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный: знак `>` меняется на `<`; знак `<` на `>`; знак `≥` на `≤`; знак `≤` на `≥`.
Если $c < 0$ и $a > b$, то $ac < bc$ и $a/c < b/c$.
Пример: Решить неравенство $-5x \le 20$.
Разделим обе части на отрицательное число -5. При этом знак `≤` нужно поменять на `≥`: $x \ge 20 / (-5)$, что равносильно $x \ge -4$. Решением является промежуток $[-4, +\infty)$.

Общий подход к решению линейных неравенств

1. С помощью Правила 1 перенести все слагаемые с переменной в одну часть, а все постоянные слагаемые (числа) — в другую.
2. Привести подобные слагаемые в каждой части, чтобы получить неравенство вида $kx > d$ (или с другими знаками: <, $\le$, $\ge$).
3. Если коэффициент $k \ne 0$, разделить обе части на $k$. Если $k > 0$, знак неравенства сохраняется (Правило 2). Если $k < 0$, знак неравенства меняется на противоположный (Правило 3).
4. Записать ответ в виде числового промежутка.

Решение более сложных неравенств (метод интервалов)

Для квадратных, дробно-рациональных и других более сложных неравенств часто применяется метод интервалов.
1. Перенести все члены неравенства в одну часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$ (или <, $\le$, $\ge$).
2. Найти область определения функции $f(x)$ и ее нули (точки, где $f(x)=0$). Для дробей это нули числителя и нули знаменателя.
3. Нанести найденные точки на числовую ось. Они разобьют ось на промежутки.
4. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных промежутков.
5. Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют исходному неравенству, и записать ответ.

Ответ: Для решения неравенств с одной переменной используют следующие правила равносильных преобразований: 1. Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя их знак на противоположный. 2. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства. 3. При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Для нелинейных неравенств, как правило, применяют метод интервалов.

4. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

4. Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое с помощью тождественных преобразований можно привести к одному из следующих видов: $ax > b$, $ax < b$, $ax \geq b$ или $ax \leq b$.

В этих общих формах записи:

• $x$ — это переменная (неизвестное);

• $a$ и $b$ — это некоторые действительные числа (коэффициенты).

Ключевым признаком линейного неравенства является то, что переменная в нём содержится только в первой степени. Коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$), иначе неравенство перестает зависеть от переменной.

Многие неравенства, которые на первый взгляд не выглядят как линейные, могут быть сведены к указанному виду. Для этого выполняют такие преобразования, как раскрытие скобок, перенос слагаемых из одной части в другую (с изменением знака на противоположный) и приведение подобных членов.

Например, неравенство $3(x - 2) + 5 \leq 7x - 1$ является линейным, потому что после преобразований:

$3x - 6 + 5 \leq 7x - 1$

$3x - 1 \leq 7x - 1$

$3x - 7x \leq -1 + 1$

$-4x \leq 0$

оно приводится к стандартному виду $ax \leq b$.

Неравенства, где переменная находится в степени выше первой (например, $x^2 - 4 > 0$) или в знаменателе дроби (например, $\frac{5}{x} < 1$), не являются линейными.

Ответ: Линейными неравенствами с одной переменной называют неравенства, которые сводятся к виду $ax > b$, $ax < b$, $ax \geq b$ или $ax \leq b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа, причём $a \neq 0$.

5. Расскажите, как, применяя правила решения неравенства, вы решите неравенство:

а) $3x + 10 \le 0$;

б) $3x + 6 > 5x + 14$.

а) Для решения неравенства $3x + 10 \le 0$ необходимо выполнить следующие действия, основанные на правилах преобразования неравенств:

1. Первое правило, которое мы применим, — это перенос слагаемых из одной части неравенства в другую. Перенесем свободный член 10 в правую часть, изменив его знак с «+» на «−». Знак неравенства при этом не меняется.

$3x \le -10$

2. Второе правило — деление обеих частей неравенства на одно и то же число. Разделим обе части на коэффициент при $x$, то есть на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства ($\le$) сохраняется.

$x \le -\frac{10}{3}$

Таким образом, решением являются все числа, не превосходящие $-\frac{10}{3}$. Это можно представить в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{10}{3}]$

б) Для решения неравенства $3x + 6 > 5x + 14$ будем придерживаться следующего порядка действий:

1. Используя правило переноса слагаемых, сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а свободные члены (числа) — в правой. При переносе слагаемого через знак неравенства его собственный знак меняется на противоположный. Перенесем $5x$ влево (станет $-5x$) и 6 вправо (станет $-6$).

$3x - 5x > 14 - 6$

2. Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

$-2x > 8$

3. Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на -2. Здесь необходимо применить одно из важнейших правил: при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак самого неравенства меняется на противоположный. В нашем случае знак «больше» ($>$) изменится на знак «меньше» (<).

$x < \frac{8}{-2}$

$x < -4$

Решением являются все числа, строго меньшие -4, что соответствует открытому числовому лучу.

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$

6. В каком случае неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными?

Определение равносильности неравенств

Два неравенства с одной переменной, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Разберем это определение подробнее:

1. Пусть $M_1$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выполняется первое неравенство $f(x) > g(x)$.
2. Пусть $M_2$ — это множество всех значений переменной $x$, при которых выполняется второе неравенство $r(x) < s(x)$.

Неравенства будут равносильными тогда и только тогда, когда множество $M_1$ в точности равно множеству $M_2$, то есть $M_1 = M_2$. Это означает, что:

• каждое решение первого неравенства является решением второго;
• каждое решение второго неравенства является решением первого.

Важным частным случаем является ситуация, когда оба неравенства не имеют решений. В этом случае множество решений для каждого из них — это пустое множество ($\emptyset$). Так как $\emptyset = \emptyset$, то такие неравенства также считаются равносильными.

Таким образом, для проверки равносильности необходимо найти все решения каждого из неравенств и сравнить полученные множества.

Ответ: Неравенства $f(x) > g(x)$ и $r(x) < s(x)$ называют равносильными в том случае, если множества их решений полностью совпадают.

7. Объясните, почему преобразование неравенства $\frac{2x - 1}{3x + 5} < 1$ к виду $2x - 1 < 3x + 5$ не является равносильным преобразованием, а замена неравенства $\frac{2x - 1}{3x^2 + 5} < 1$ неравенством $2x - 1 < 3x^2 + 5$ является равносильным преобразованием.

...почему преобразование неравенства $\frac{2x-1}{3x+5} < 1$ к виду $2x-1 < 3x+5$ не является равносильным преобразованием

Данное преобразование заключается в умножении обеих частей неравенства на знаменатель $3x+5$. При решении неравенств умножение обеих частей на выражение, содержащее переменную, является равносильным преобразованием только в том случае, если это выражение сохраняет свой знак на всей области допустимых значений переменной.

Рассмотрим знак выражения $3x+5$:

1. Если $x > -5/3$, то $3x+5 > 0$. В этом случае при умножении на $3x+5$ знак неравенства сохранится: $2x-1 < 3x+5$.

2. Если $x < -5/3$, то $3x+5 < 0$. В этом случае при умножении на $3x+5$ знак неравенства должен измениться на противоположный: $2x-1 > 3x+5$.

Поскольку знак выражения $3x+5$ меняется в зависимости от значения $x$, нельзя просто умножить на него обе части неравенства, сохранив знак. Такое действие не является равносильным, так как оно не учитывает случай, когда знаменатель отрицателен, что приводит к изменению множества решений (потере или приобретению корней).

Ответ: Преобразование не является равносильным, так как умножение обеих частей неравенства выполнено на выражение $3x+5$, которое может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Это требует рассмотрения двух отдельных случаев (с сохранением и с изменением знака неравенства), что не было сделано.

...а замена неравенства $\frac{2x-1}{3x^2+5} < 1$ неравенством $2x-1 < 3x^2+5$ является равносильным преобразованием

В данном случае преобразование также заключается в умножении обеих частей неравенства на знаменатель $3x^2+5$.

Проанализируем знак выражения $3x^2+5$. Для любого действительного числа $x$ квадрат этого числа $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Следовательно, $3x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 5, результат всегда будет положительным: $3x^2+5 \ge 5$.

Таким образом, выражение в знаменателе $3x^2+5$ является строго положительным при любом значении переменной $x$.

Согласно правилам преобразования неравенств, умножение обеих частей на строго положительное число (или выражение) является равносильным преобразованием. Знак неравенства при этом не меняется. Следовательно, множества решений исходного и полученного неравенств полностью совпадают.

Ответ: Преобразование является равносильным, так как умножение обеих частей неравенства происходит на выражение $3x^2+5$, которое строго положительно при любых действительных значениях $x$.

8. Какие неравенства называют квадратными неравенствами с одной переменной?

Квадратными неравенствами с одной переменной называют неравенства, которые можно привести к одному из следующих видов:

• $ax^2 + bx + c > 0$
• $ax^2 + bx + c < 0$
• $ax^2 + bx + c \ge 0$
• $ax^2 + bx + c \le 0$

В этих неравенствах $x$ является переменной, а $a$, $b$ и $c$ — некоторыми числами, которые называют коэффициентами.

Ключевым условием, которое определяет неравенство как квадратное, является требование, чтобы старший коэффициент $a$ (коэффициент при $x^2$) не был равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если это условие не выполняется ($a = 0$), то слагаемое $ax^2$ исчезает, и неравенство становится линейным.

Рассмотрим компоненты квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$:

• $x$ — переменная, значения которой нужно найти.
• $a$ — старший (или первый) коэффициент.
• $b$ — второй коэффициент.
• $c$ — свободный член.

Примеры квадратных неравенств:

• $2x^2 - 7x + 5 \le 0$. Это полное квадратное неравенство, где $a=2, b=-7, c=5$.
• $-x^2 + 4 > 0$. Это неполное квадратное неравенство, так как второй коэффициент $b=0$. Здесь $a=-1, c=4$.
• $6x^2 + x \ge 0$. Это также неполное квадратное неравенство, поскольку свободный член $c=0$. Здесь $a=6, b=1$.

Ответ: Квадратными неравенствами с одной переменной называют неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, в которых $x$ — это переменная, $a$, $b$ и $c$ — заданные числа, причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

9. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, где $a \neq 0$

Решение квадратного неравенства основывается на графическом методе с использованием свойств квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, графиком которой является парабола. Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Нахождение нулей функции. Необходимо найти значения $x$, при которых функция равна нулю. Для этого решается соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.

а) Вычисляется дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

б) Анализируется знак дискриминанта и находятся корни (если они существуют):

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. Парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в двух точках.

• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в своей вершине).

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось $Ox$ и полностью расположена либо выше, либо ниже нее.

2. Определение направления ветвей параболы. Направление ветвей определяется знаком старшего коэффициента $a$.

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Схематическое изображение параболы. На числовой оси отмечаются найденные нули функции. Учитывая направление ветвей, рисуется эскиз графика параболы относительно оси $Ox$.

4. Определение знаков функции на интервалах. По эскизу графика определяются интервалы, на которых функция $y$ принимает положительные значения (то есть, где график параболы расположен выше оси $Ox$). Эти интервалы и будут решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$.

5. Запись ответа. Полученные промежутки записываются в виде объединения интервалов.

Ответ: Описанный выше пошаговый процесс, включающий нахождение корней квадратного трехчлена, определение направления ветвей параболы и анализ ее расположения относительно оси абсцисс, является искомым алгоритмом.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$

Решим данное неравенство, следуя описанному алгоритму.

1. Находим нули функции $y = x^2 - 4x + 3$. Для этого решаем уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Находим корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Нули функции: $x = 1$ и $x = 3$.

2. Определяем направление ветвей параболы.

Старший коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Схематически изображаем параболу.

Отмечаем на числовой оси точки $1$ и $3$. Через них проводим параболу с ветвями, направленными вверх. Парабола будет находиться ниже оси $Ox$ на интервале $(1; 3)$ и выше оси $Ox$ на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(3; \infty)$.

4. Выбираем нужные промежутки.

Мы ищем решения неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$, то есть те значения $x$, при которых график функции находится выше оси $Ox$.

Согласно нашему эскизу, это происходит при $x < 1$ или при $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

10. Опишите алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \leq 0$, где $a \neq 0$. Примените его для решения неравенства $x^2 + 2x - 3 \leq 0$.

Алгоритм решения неравенства $ax^2 + bx + c \le 0$, где $a \ne 0$

Решение квадратного неравенства методом парабол заключается в определении, на каких промежутках числовой оси график соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ расположен не выше оси абсцисс.

1. Определить направление ветвей параболы, которая является графиком функции $y = ax^2 + bx + c$, по знаку старшего коэффициента $a$:
   - Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   - Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти нули функции, то есть корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого сначала вычисляется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

3. Проанализировать расположение параболы относительно оси Ox в зависимости от знака дискриминанта $D$ и коэффициента $a$:

   • Если $D > 0$: уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$ (пусть $x_1 < x_2$). Парабола пересекает ось Ox в двух точках.
     - При $a > 0$ (ветви вверх), функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) на отрезке между корнями. Решение: $x \in [x_1, x_2]$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), функция принимает неположительные значения ($y \le 0$) за пределами отрезка между корнями. Решение: $x \in (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty]$.

   • Если $D = 0$: уравнение имеет один действительный корень (двойной кратности) $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси Ox в одной точке (в своей вершине).
     - При $a > 0$ (ветви вверх), функция всегда неотрицательна ($y \ge 0$). Условие $y \le 0$ выполняется только в одной точке, где $y=0$. Решение: $x = x_0$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), функция всегда неположительна ($y \le 0$). Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

   • Если $D < 0$: уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox.
     - При $a > 0$ (ветви вверх), вся парабола расположена выше оси Ox, то есть $y > 0$ для любого $x$. Неравенство $y \le 0$ не имеет решений. Решение: $\emptyset$.
     - При $a < 0$ (ветви вниз), вся парабола расположена ниже оси Ox, то есть $y < 0$ для любого $x$. Неравенство $y \le 0$ выполняется для всех действительных чисел. Решение: $x \in (-\infty, \infty)$.

4. Схематически изобразить параболу, отметив направление ветвей и точки пересечения (или касания) с осью Ox, и на основе этого определить промежутки, где $y \le 0$.

5. Записать итоговый ответ.

Применение алгоритма для решения неравенства $x^2 + 2x - 3 \le 0$

Решим неравенство $x^2 + 2x - 3 \le 0$, следуя приведенному алгоритму.

1. Рассматриваем функцию $y = x^2 + 2x - 3$. Коэффициенты: $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$.

2. Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
   Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

4. Поскольку $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:
   $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
   $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.

5. Схематически парабола $y = x^2 + 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 1$.

6. Требуется найти значения $x$, при которых $y \le 0$. Для параболы с ветвями вверх это промежуток между корнями, включая сами корни.

7. Таким образом, решение неравенства — это все числа $x$, такие что $-3 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-3, 1]$.

11. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a > 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \geq 0$;

г) $ax^2 + bx + c \leq 0$?

Для анализа решений неравенств рассмотрим свойства квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

1. По условию, старший коэффициент $a > 0$. Это означает, что ветви параболы, которая является графиком этой функции, направлены вверх.

2. По условию, дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$). Это означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Графически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Совокупность этих двух условий (ветви вверх и отсутствие точек пересечения с осью Ox) однозначно определяет, что вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, для любого действительного значения $x$ значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ будет строго положительным.

Исходя из этого вывода, решим каждое неравенство.

а) $ax^2 + bx + c > 0$
Поскольку, как мы установили, трёхчлен $ax^2 + bx + c$ положителен при любом значении $x$, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $ax^2 + bx + c < 0$
Так как трёхчлен $ax^2 + bx + c$ всегда положителен, он никогда не может быть отрицательным. Следовательно, у данного неравенства нет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$
Это неравенство означает, что $ax^2 + bx + c > 0$ или $ax^2 + bx + c = 0$. Мы знаем, что $ax^2 + bx + c > 0$ для всех $x$, а равенство нулю невозможно ($D < 0$). Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) $ax^2 + bx + c \le 0$
Это неравенство означает, что $ax^2 + bx + c < 0$ или $ax^2 + bx + c = 0$. Как было показано в предыдущих пунктах, ни одно из этих условий не может быть выполнено. Следовательно, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

12. Известно, что дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ отрицателен и $a < 0$. Что вы скажете о решении неравенства:

а) $ax^2 + bx + c > 0$;

б) $ax^2 + bx + c < 0$;

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$;

г) $ax^2 + bx + c \le 0$?

Рассмотрим свойства квадратичного трёхчлена $f(x) = ax^2 + bx + c$ при заданных условиях.

1. Условие $a < 0$ означает, что график функции $y = ax^2 + bx + c$ — это парабола, ветви которой направлены вниз.

2. Условие $D < 0$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант, означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Геометрически это значит, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось $Ox$).

Совместив эти два условия, мы получаем параболу, ветви которой направлены вниз и которая целиком расположена ниже оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ будет отрицательным. То есть, $ax^2 + bx + c < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Исходя из этого, решим каждое неравенство.

а) $ax^2 + bx + c > 0$

Поскольку мы установили, что значение трёхчлена $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно при любых $x$, оно никогда не может быть больше нуля. Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \varnothing$).

б) $ax^2 + bx + c < 0$

Как было показано выше, при заданных условиях ($a < 0$ и $D < 0$) парабола полностью лежит ниже оси $Ox$. Это означает, что значение трёхчлена отрицательно для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).

в) $ax^2 + bx + c \ge 0$

Это неравенство требует, чтобы трёхчлен был больше или равен нулю. Мы знаем, что он всегда строго меньше нуля. Он не может быть ни положительным, ни равным нулю (равенство нулю было бы возможно только при $D \ge 0$). Значит, это неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет ($x \in \varnothing$).

г) $ax^2 + bx + c \le 0$

Это неравенство требует, чтобы трёхчлен был меньше или равен нулю. Поскольку значение трёхчлена всегда отрицательно, оно всегда удовлетворяет условию "меньше или равно нулю". Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in (-\infty; +\infty)$).

13. В чём состоит геометрический смысл выражения $|a - b|$, где $a, b$ — действительные числа?

Геометрический смысл выражения $|a - b|$, где $a$ и $b$ — действительные числа, заключается в определении расстояния между точками на координатной прямой.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой (координатной) оси. Пусть числу $a$ соответствует точка $A$, а числу $b$ — точка $B$.

Расстояние между двумя точками на прямой — это длина отрезка, их соединяющего. Эта величина всегда неотрицательна. Чтобы найти эту длину, необходимо из координаты точки, расположенной правее, вычесть координату точки, расположенной левее.

Рассмотрим это с использованием определения модуля. Модуль разности $|a - b|$ можно раскрыть двумя способами:
1. Если $a \ge b$, то разность $a - b$ неотрицательна. По определению модуля, $|a - b| = a - b$. В этом случае точка $A$ находится на координатной прямой не левее точки $B$, и расстояние между ними как раз равно $a - b$.
2. Если $a < b$, то разность $a - b$ отрицательна. По определению модуля, $|a - b| = -(a - b) = b - a$. В этом случае точка $B$ находится правее точки $A$, и расстояние между ними равно $b - a$.

Как видно из обоих случаев, результат вычисления выражения $|a - b|$ всегда совпадает с расстоянием между точками $A$ и $B$ на координатной прямой, независимо от их взаимного расположения. Свойство модуля $|a - b| = |b - a|$ также отражает тот факт, что расстояние от точки $A$ до точки $B$ равно расстоянию от точки $B$ до точки $A$.

Ответ: Геометрический смысл выражения $|a - b|$ — это расстояние на координатной прямой между точкой с координатой $a$ и точкой с координатой $b$.

14. Используя геометрический смысл выражения $|x - a|$, решите неравенство:

a) $|x - 4| < 1;

б) $|x + 2| \ge 2.

Геометрический смысл выражения $|x - a|$ — это расстояние на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $a$.

а) $|x - 4| < 1$

Данное неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $4$ на числовой прямой должно быть меньше, чем $1$. Найдём точки, которые удалены от точки $4$ ровно на $1$. Это будут точки $4 - 1 = 3$ и $4 + 1 = 5$. Поскольку расстояние от $x$ до $4$ должно быть строго меньше $1$, нас интересуют все точки, расположенные между $3$ и $5$. Это соответствует интервалу $3 < x < 5$.

Ответ: $x \in (3; 5)$

б) $|x + 2| \ge 2$

Для использования геометрического смысла представим выражение в виде $|x - a|$. $|x + 2|$ можно записать как $|x - (-2)|$. Таким образом, неравенство $|x - (-2)| \ge 2$ означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-2$ на числовой прямой должно быть больше или равно $2$. Найдём точки, которые удалены от точки $-2$ ровно на $2$. Это будут точки $-2 - 2 = -4$ и $-2 + 2 = 0$. Поскольку расстояние от $x$ до $-2$ должно быть больше или равно $2$, решением будут все точки, которые находятся на расстоянии $2$ или дальше от точки $-2$. Это точки, которые левее $-4$ (включительно) и правее $0$ (включительно). Это соответствует двум промежуткам: $x \le -4$ и $x \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [0; +\infty)$

3.10 Даны три множества $A = \{1, 2, 3, \ldots, 37\}$, $B = \{2, 4, 6, 8, \ldots\}$, $C = \{4, 8, 12, 16, \ldots, 36\}$. Верно ли, что:

а) $A \subset B$;

б) $B \subset C$;

в) $C \subset A$;

г) $C \subset B$?

Для начала определим множества, данные в условии задачи:
$A = \{1, 2, 3, \ldots, 37\}$ — это множество натуральных чисел от 1 до 37.
$B = \{2, 4, 6, 8, \ldots\}$ — это множество всех положительных четных чисел.
$C = \{4, 8, 12, 16, \ldots, 36\}$ — это множество положительных чисел, кратных 4, от 4 до 36 включительно.
Утверждение $X \subset Y$ означает, что множество $X$ является подмножеством множества $Y$, то есть каждый элемент множества $X$ также является элементом множества $Y$.

а) $A \subset B$
Это утверждение означает, что каждый элемент множества $A$ должен быть элементом множества $B$.Множество $A$ содержит все натуральные числа от 1 до 37, включая нечетные числа. Множество $B$ содержит только четные числа.Рассмотрим элемент $1 \in A$. Число 1 не является четным, поэтому $1 \notin B$.Поскольку мы нашли элемент в $A$, который не принадлежит $B$, утверждение, что $A$ является подмножеством $B$, неверно.
Ответ: неверно.

б) $B \subset C$
Это утверждение означает, что каждый элемент множества $B$ должен быть элементом множества $C$.Множество $B$ — это все положительные четные числа. Множество $C$ — это числа, кратные 4, не превышающие 36.Рассмотрим элемент $2 \in B$. Число 2 является четным, но оно не делится на 4, поэтому $2 \notin C$.Также можно заметить, что множество $B$ является бесконечным, в то время как множество $C$ конечно. Бесконечное множество не может быть подмножеством конечного.Поскольку существуют элементы в $B$, которые не принадлежат $C$, утверждение, что $B$ является подмножеством $C$, неверно.
Ответ: неверно.

в) $C \subset A$
Это утверждение означает, что каждый элемент множества $C$ должен быть элементом множества $A$.Множество $C = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36\}$. Все элементы множества $C$ — это натуральные числа.Множество $A$ — это все натуральные числа от 1 до 37.Наименьший элемент в $C$ — это 4, а $4 \in A$, так как $1 \le 4 \le 37$.Наибольший элемент в $C$ — это 36, а $36 \in A$, так как $1 \le 36 \le 37$.Все остальные элементы множества $C$ также являются натуральными числами и находятся в диапазоне от 1 до 37, поэтому они все принадлежат множеству $A$.Следовательно, каждый элемент множества $C$ является элементом множества $A$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) $C \subset B$
Это утверждение означает, что каждый элемент множества $C$ должен быть элементом множества $B$.Множество $C$ состоит из чисел, кратных 4. Любой элемент $x$ из множества $C$ можно представить в виде $x = 4k$, где $k$ — натуральное число.Множество $B$ состоит из всех положительных четных чисел, то есть чисел, кратных 2.Любое число $x$ из множества $C$ можно записать как $x = 4k = 2 \cdot (2k)$. Так как $k$ — натуральное число, то $2k$ также является натуральным числом, а значит $x$ делится на 2, то есть является четным.Все элементы множества $C$ — положительные числа.Следовательно, каждый элемент множества $C$ является положительным четным числом, а значит, принадлежит множеству $B$. Утверждение верно.
Ответ: верно.

3.11 На числовой прямой изобразите следующие промежутки:

$A = (-\sqrt{2}; 1)$, $B = [0; 1,9)$, $C = \left[-1,5; \frac{200}{101}\right]$. Верно ли, что:

a) $A \subset B$;

б) $B \subset C$;

в) $C \subset A$;

г) $A \subset C$?

Для решения задачи представим все числовые промежутки на числовой прямой. Для этого сначала оценим значения границ промежутков в виде десятичных дробей:

• Промежуток $A = (-\sqrt{2}; 1)$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $A \approx (-1,414; 1)$. Это открытый интервал.
• Промежуток $B = [0; 1,9)$. Это полуинтервал, замкнутый слева и открытый справа.
• Промежуток $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$. Так как $\frac{200}{101} = 1\frac{99}{101} \approx 1,98$, то $C \approx [-1,5; 1,98]$. Это замкнутый отрезок.

Изобразим эти промежутки на числовой прямой (выколотые точки для строгих неравенств, закрашенные для нестрогих):

 -1.5 -√2 0 1 1.9 200/101-------[-----(----------[------)-----------)------]--------> | | | | | | C: [=============================================] A: (------------------) B: [--------------------)

Теперь проверим утверждения.

а) A ⊂ B;
Утверждение $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Множество $A = (-\sqrt{2}; 1)$, а множество $B = [0; 1,9)$. Левая граница множества $A$ равна $-\sqrt{2} \approx -1,414$, а левая граница множества $B$ равна $0$. Поскольку $-\sqrt{2} < 0$, существуют числа (например, $-1$), которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

б) B ⊂ C;
Проверяем, является ли множество $B = [0; 1,9)$ подмножеством множества $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$. Для этого нужно, чтобы левая граница $B$ была больше или равна левой границе $C$, а правая граница $B$ была меньше или равна правой границе $C$.
1. Сравним левые границы: $0 \ge -1,5$. Это верно.
2. Сравним правые границы: $1,9 \le \frac{200}{101}$. Переведем $1,9$ в обыкновенную дробь: $1,9 = \frac{19}{10}$. Сравним дроби $\frac{19}{10}$ и $\frac{200}{101}$. Приведем к общему знаменателю или воспользуемся перекрестным умножением: $19 \times 101$ и $200 \times 10$. Получаем $1919$ и $2000$. Так как $1919 < 2000$, то $\frac{19}{10} < \frac{200}{101}$, следовательно $1,9 < \frac{200}{101}$.
Оба условия выполняются. Все точки из промежутка $[0; 1,9)$ содержатся в промежутке $[-1,5; \frac{200}{101}]$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) C ⊂ A;
Проверяем, является ли множество $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$ подмножеством множества $A = (-\sqrt{2}; 1)$.
Сравним левые границы: $-1,5$ и $-\sqrt{2} \approx -1,414$. Так как $-1,5 < -1,414$, то точка $-1,5$ принадлежит множеству $C$, но не принадлежит множеству $A$. Уже этого достаточно, чтобы утверждать, что $C$ не является подмножеством $A$. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

г) A ⊂ C?
Проверяем, является ли множество $A = (-\sqrt{2}; 1)$ подмножеством множества $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$.
1. Сравним левые границы: нужно, чтобы левая граница $C$ была меньше или равна левой границе $A$. Сравниваем $-1,5$ и $-\sqrt{2}$. Так как $1,5^2 = 2,25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$, следовательно $-1,5 < -\sqrt{2}$. Это условие выполняется.
2. Сравним правые границы: нужно, чтобы правая граница $A$ была меньше или равна правой границе $C$. Сравниваем $1$ и $\frac{200}{101}$. Так как $1 = \frac{101}{101}$, а $\frac{101}{101} < \frac{200}{101}$, то $1 < \frac{200}{101}$. Это условие тоже выполняется.
Поскольку $(-\sqrt{2}; 1)$ полностью содержится внутри $[-1,5; \frac{200}{101}]$, утверждение верно.
Ответ: Верно.

3.12 Найдите пересечение $A \cap B$ множеств A и B:

а) А — множество всех натуральных чисел, кратных 10, $B = \{1, 2, 3, \dots, 41\}$;

б) А — множество всех нечётных целых чисел, меньших 1000, $B = \{0, 3, 6, 9, \dots, 21\}$;

в) А = $\{-11, -10, -9, \dots, -1, 0, 1, \dots, 9\}$, В — множество целых чисел, кратных 10;

г) А — множество чётных чисел, В — множество простых чисел.

а)

Множество $A$ — это множество всех натуральных чисел, кратных 10. Его можно записать как $A = \{10, 20, 30, 40, 50, \dots\}$.
Множество $B$ — это множество натуральных чисел от 1 до 41 включительно: $B = \{1, 2, 3, \dots, 41\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Это означает, что мы ищем натуральные числа, которые кратны 10 и при этом находятся в диапазоне от 1 до 41.

Выпишем числа, кратные 10, и проверим, входят ли они в множество $B$ (т.е. удовлетворяют ли они неравенству $1 \le x \le 41$):
- $10$: кратно 10 и $1 \le 10 \le 41$. Подходит.
- $20$: кратно 10 и $1 \le 20 \le 41$. Подходит.
- $30$: кратно 10 и $1 \le 30 \le 41$. Подходит.
- $40$: кратно 10 и $1 \le 40 \le 41$. Подходит.
- $50$: кратно 10, но $50 > 41$. Не подходит. Все последующие числа, кратные 10, также будут больше 41.

Таким образом, пересечением множеств является $\{10, 20, 30, 40\}$.
Ответ: $A \cap B = \{10, 20, 30, 40\}$

б)

Множество $A$ — это множество всех нечётных целых чисел, меньших 1000. $A = \{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots, 997, 999\}$.
Множество $B$ представлено как последовательность $0, 3, 6, 9, \dots, 21$. Это множество целых чисел, кратных 3, от 0 до 21 включительно: $B = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$.

Пересечение $A \cap B$ будет содержать элементы из $B$, которые также являются нечётными целыми числами. Условие "меньше 1000" выполняется для всех элементов $B$, поэтому достаточно проверить их на нечётность.

Проверим каждый элемент множества $B$:
- 0 — чётное число.
- 3 — нечётное число.
- 6 — чётное число.
- 9 — нечётное число.
- 12 — чётное число.
- 15 — нечётное число.
- 18 — чётное число.
- 21 — нечётное число.

Следовательно, в пересечение входят только нечётные числа из $B$.
Ответ: $A \cap B = \{3, 9, 15, 21\}$

в)

Множество $A$ — это множество целых чисел от -11 до 9 включительно: $A = \{-11, -10, -9, \dots, -1, 0, 1, \dots, 9\}$.
Множество $B$ — это множество всех целых чисел, кратных 10: $B = \{\dots, -20, -10, 0, 10, 20, \dots\}$.

Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, общих для обоих множеств. Нам нужно найти целые числа, кратные 10, которые находятся в интервале $[-11, 9]$.

Проверим числа из множества $B$, которые могут попасть в диапазон множества $A$ (т.е. удовлетворяют неравенству $-11 \le x \le 9$):
- $\dots, -30, -20$ меньше $-11$.
- $-10$ удовлетворяет условию $-11 \le -10 \le 9$. Подходит.
- $0$ удовлетворяет условию $-11 \le 0 \le 9$. Подходит.
- $10$ не удовлетворяет условию, так как $10 > 9$. Не подходит.
- Все последующие кратные 10 числа также больше 9.

Таким образом, только два числа из $B$ принадлежат множеству $A$.
Ответ: $A \cap B = \{-10, 0\}$

г)

Множество $A$ — это множество всех чётных чисел: $A = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$.
Множество $B$ — это множество всех простых чисел: $B = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$.

Пересечение $A \cap B$ содержит числа, которые являются одновременно и чётными, и простыми. Вспомним определения:
- Чётное число — целое число, делящееся на 2 без остатка.
- Простое число — это натуральное число (целое положительное), большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

Поскольку простые числа по определению являются натуральными, мы ищем только положительные чётные числа.
- Рассмотрим число 2. Оно чётное. Его делители — 1 и 2. Следовательно, 2 — простое число. Значит, $2 \in A \cap B$.
- Рассмотрим любое другое чётное натуральное число $n > 2$. Оно делится на 1, на 2 и на само себя $n$. Так как $n > 2$, у него как минимум три различных делителя, поэтому оно по определению не является простым.

Следовательно, единственным элементом в пересечении множеств $A$ и $B$ является число 2.
Ответ: $A \cap B = \{2\}$

3.13 Даны числовые промежутки: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$, $D = (0.1; 1.1]$. Изобразите на числовой прямой множества:

а) $A \cap B$;

б) $B \cap C$;

в) $A \cap B \cap D$;

г) $A \cap B \cap C \cap D$.

Даны числовые промежутки: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$, $D = (0,1; 1,1]$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств, то есть нахождение общей части для всех указанных промежутков.

а) A ∩ B
Нам нужно найти пересечение промежутков $A = (0; 1)$ и $B = [-0,5; 0,9]$. Пересечением является множество всех чисел, которые принадлежат и промежутку A, и промежутку B. Для нахождения левой границы пересечения берем наибольшее из левых границ: $\max(0; -0,5) = 0$. Для нахождения правой границы пересечения берем наименьшее из правых границ: $\min(1; 0,9) = 0,9$. Теперь определим, входят ли границы в итоговый промежуток. Число 0 не принадлежит промежутку A (скобка круглая), поэтому оно не входит в пересечение. Число 0,9 принадлежит промежутку B (скобка квадратная) и также принадлежит промежутку A (так как $0 < 0,9 < 1$), поэтому оно входит в пересечение. Таким образом, пересечением является полуинтервал $(0; 0,9]$.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $A \cap B = (0; 0,9]$.

б) B ∩ C
Нам нужно найти пересечение промежутков $B = [-0,5; 0,9]$ и $C = [-1; 1]$. Левая граница пересечения: $\max(-0,5; -1) = -0,5$. Правая граница пересечения: $\min(0,9; 1) = 0,9$. Число -0,5 принадлежит обоим промежуткам, поэтому оно входит в пересечение (скобка квадратная). Число 0,9 принадлежит обоим промежуткам, поэтому оно также входит в пересечение (скобка квадратная). Заметим, что промежуток B полностью содержится в промежутке C, поэтому их пересечение равно самому промежутку B.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $B \cap C = [-0,5; 0,9]$.

в) A ∩ B ∩ D
Нам нужно найти пересечение трех промежутков: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$ и $D = (0,1; 1,1]$. Левая граница пересечения: $\max(0; -0,5; 0,1) = 0,1$. Правая граница пересечения: $\min(1; 0,9; 1,1) = 0,9$. Число 0,1 не принадлежит промежутку D (скобка круглая), значит, оно не входит в пересечение. Число 0,9 принадлежит всем трем промежуткам (оно в B, и $0 < 0,9 < 1$, и $0,1 < 0,9 < 1,1$), значит, оно входит в пересечение.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $A \cap B \cap D = (0,1; 0,9]$.

г) A ∩ B ∩ C ∩ D
Нам нужно найти пересечение четырех промежутков: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$ и $D = (0,1; 1,1]$. Мы можем взять результат из предыдущего пункта, $(A \cap B \cap D) = (0,1; 0,9]$, и найти его пересечение с промежутком $C = [-1; 1]$. Промежуток $(0,1; 0,9]$ полностью содержится внутри промежутка $[-1; 1]$, поэтому их пересечение будет равно $(0,1; 0,9]$. Или можно вычислить заново для всех четырех множеств: Левая граница: $\max(0; -0,5; -1; 0,1) = 0,1$. Правая граница: $\min(1; 0,9; 1; 1,1) = 0,9$. Границы определяются так же, как в пункте (в), так как добавление самого широкого промежутка C не меняет крайних точек.

Изображение на числовой прямой будет таким же, как и в пункте (в), поскольку результат пересечения не изменился.
Ответ: $A \cap B \cap C \cap D = (0,1; 0,9]$.

3.14 Для множеств A, B, C, D задачи 3.13 изобразите на числовой прямой множества:

а) $A \cup B$;

б) $A \cup D$;

в) $B \cup D$;

г) $A \cup B \cup C \cup D$.

Для решения задачи воспользуемся определениями множеств из задачи 3.13, которые заданы следующими числовыми промежутками:

• Множество $A$: $ \{x \mid -1 \le x < 2\} $, что соответствует числовому промежутку $ A = [-1, 2) $.
• Множество $B$: $ \{x \mid 0 \le x \le 3\} $, что соответствует числовому промежутку $ B = [0, 3] $.
• Множество $C$: $ \{x \mid x > 1\} $, что соответствует числовому промежутку $ C = (1, +\infty) $.
• Множество $D$: $ \{x \mid x \le 0\} $, что соответствует числовому промежутку $ D = (-\infty, 0] $.

Объединение множеств (обозначается символом $ \cup $) — это операция, результатом которой является множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Необходимо найти объединения указанных множеств и изобразить их на числовой прямой.

а) $ A \cup B $;

Находим объединение множеств $ A = [-1, 2) $ и $ B = [0, 3] $. Изобразим эти промежутки на числовой прямой. Множество A включает числа от -1 (включительно) до 2 (не включительно). Множество B включает числа от 0 (включительно) до 3 (включительно). Объединение этих двух промежутков будет содержать все числа от наименьшей границы, то есть -1, до наибольшей, то есть 3. Так как -1 принадлежит множеству A, а 3 принадлежит множеству B, обе эти точки входят в объединение. Таким образом, результирующий промежуток будет от -1 до 3, включая концы.

На числовой прямой это изображается как отрезок с закрашенными точками в -1 и 3.

Ответ: $ [-1, 3] $.

б) $ A \cup D $;

Находим объединение множеств $ A = [-1, 2) $ и $ D = (-\infty, 0] $. Множество D — это луч, включающий все числа, меньшие или равные 0. Множество A — это полуинтервал от -1 (включительно) до 2 (не включительно). Объединяя эти множества, мы берем все числа из D и добавляем к ним числа из A, которых еще нет. Это даст нам непрерывный промежуток, начинающийся от $ -\infty $ и заканчивающийся в крайней правой точке множества A, то есть в точке 2. Поскольку 2 не входит в множество A, она не войдет и в объединение.

На числовой прямой это изображается как луч, идущий из $ -\infty $ до точки 2, с выколотой точкой в 2.

Ответ: $ (-\infty, 2) $.

в) $ B \cup D $;

Находим объединение множеств $ B = [0, 3] $ и $ D = (-\infty, 0] $. Множество D — это луч всех чисел до 0 включительно. Множество B — это отрезок от 0 до 3 включительно. Точка 0 является общей для обоих множеств и служит "связующим звеном". Объединение этих двух множеств покрывает все числа от $ -\infty $ до 3. Поскольку 3 входит в множество B, эта точка будет включена в итоговый промежуток.

На числовой прямой это изображается как луч, идущий из $ -\infty $ до точки 3, с закрашенной точкой в 3.

Ответ: $ (-\infty, 3] $.

г) $ A \cup B \cup C \cup D $.

Находим объединение всех четырех множеств: $ A = [-1, 2) $, $ B = [0, 3] $, $ C = (1, +\infty) $ и $ D = (-\infty, 0] $. Проанализируем покрытие числовой прямой:

• $ D = (-\infty, 0] $ покрывает левую часть оси до 0.
• $ B = [0, 3] $ покрывает числа от 0 до 3 включительно.
• $ C = (1, +\infty) $ покрывает правую часть оси от 1.
• $ A = [-1, 2) $ покрывает числа от -1 до 2.

Рассмотрим объединение всех множеств поэтапно. Объединение $ D \cup B $ дает нам $ (-\infty, 3] $. Объединение $ A $ с этим результатом не изменяет его правую границу, но расширяет его, если это необходимо; однако $ [-1, 2) $ уже содержится в $ (-\infty, 3] $, поэтому $ A \cup B \cup D = (-\infty, 3] $.
Теперь объединим полученное множество с $ C = (1, +\infty) $. Нам нужно найти $ (-\infty, 3] \cup (1, +\infty) $.
Первое множество включает все числа до 3 включительно. Второе множество включает все числа больше 1. Вместе они покрывают всю числовую прямую без пропусков. Любое действительное число принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Следовательно, их объединение есть множество всех действительных чисел $ \mathbb{R} $.

На числовой прямой это изображается как вся числовая ось.

Ответ: $ (-\infty, +\infty) $.

3.15 Даны множества: $A = \{a, b, c, d\}$, $B = \{c, d, e, f\}$, $C = \{c, e, g, k\}$. Найдите множество:

a) $(A \cap B) \cap C$;

б) $(A \cap B) \cup C$;

в) $(A \cup B) \cap C$;

г) $(A \cup B) \cup C$.

Даны множества: $A = \{a, b, c, d\}$, $B = \{c, d, e, f\}$, $C = \{c, e, g, k\}$.

Для решения задачи вспомним определения операций над множествами:

• Пересечение множеств (знак $\cap$) — это множество, содержащее элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам.
• Объединение множеств (знак $\cup$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

а) $(A \cap B) \cap C$

Сначала найдем пересечение множеств A и B. Это элементы, которые есть и в A, и в B.
$A \cap B = \{a, b, c, d\} \cap \{c, d, e, f\} = \{c, d\}$.
Теперь найдем пересечение полученного множества $\{c, d\}$ с множеством C. Это элементы, которые есть и в $\{c, d\}$, и в C.
$(A \cap B) \cap C = \{c, d\} \cap \{c, e, g, k\} = \{c\}$.
Ответ: $\{c\}$.

б) $(A \cap B) \cup C$

Пересечение $A \cap B$ мы уже нашли в пункте а): $A \cap B = \{c, d\}$.
Теперь найдем объединение полученного множества $\{c, d\}$ с множеством C. Это все элементы из обоих множеств без повторений.
$(A \cap B) \cup C = \{c, d\} \cup \{c, e, g, k\} = \{c, d, e, g, k\}$.
Ответ: $\{c, d, e, g, k\}$.

в) $(A \cup B) \cap C$

Сначала найдем объединение множеств A и B. Это все элементы из A и B без повторений.
$A \cup B = \{a, b, c, d\} \cup \{c, d, e, f\} = \{a, b, c, d, e, f\}$.
Теперь найдем пересечение полученного множества с множеством C. Это элементы, которые есть и в $\{a, b, c, d, e, f\}$, и в C.
$(A \cup B) \cap C = \{a, b, c, d, e, f\} \cap \{c, e, g, k\} = \{c, e\}$.
Ответ: $\{c, e\}$.

г) $(A \cup B) \cup C$

Объединение $A \cup B$ мы уже нашли в пункте в): $A \cup B = \{a, b, c, d, e, f\}$.
Теперь найдем объединение полученного множества с множеством C. Это все элементы из обоих множеств без повторений.
$(A \cup B) \cup C = \{a, b, c, d, e, f\} \cup \{c, e, g, k\} = \{a, b, c, d, e, f, g, k\}$.
Ответ: $\{a, b, c, d, e, f, g, k\}$.