Номер 3.13, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.13 Даны числовые промежутки: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$, $D = (0.1; 1.1]$. Изобразите на числовой прямой множества:

а) $A \cap B$;

б) $B \cap C$;

в) $A \cap B \cap D$;

г) $A \cap B \cap C \cap D$.

Даны числовые промежутки: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$, $D = (0,1; 1,1]$.

Знак $\cap$ обозначает пересечение множеств, то есть нахождение общей части для всех указанных промежутков.

а) A ∩ B
Нам нужно найти пересечение промежутков $A = (0; 1)$ и $B = [-0,5; 0,9]$. Пересечением является множество всех чисел, которые принадлежат и промежутку A, и промежутку B. Для нахождения левой границы пересечения берем наибольшее из левых границ: $\max(0; -0,5) = 0$. Для нахождения правой границы пересечения берем наименьшее из правых границ: $\min(1; 0,9) = 0,9$. Теперь определим, входят ли границы в итоговый промежуток. Число 0 не принадлежит промежутку A (скобка круглая), поэтому оно не входит в пересечение. Число 0,9 принадлежит промежутку B (скобка квадратная) и также принадлежит промежутку A (так как $0 < 0,9 < 1$), поэтому оно входит в пересечение. Таким образом, пересечением является полуинтервал $(0; 0,9]$.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $A \cap B = (0; 0,9]$.

б) B ∩ C
Нам нужно найти пересечение промежутков $B = [-0,5; 0,9]$ и $C = [-1; 1]$. Левая граница пересечения: $\max(-0,5; -1) = -0,5$. Правая граница пересечения: $\min(0,9; 1) = 0,9$. Число -0,5 принадлежит обоим промежуткам, поэтому оно входит в пересечение (скобка квадратная). Число 0,9 принадлежит обоим промежуткам, поэтому оно также входит в пересечение (скобка квадратная). Заметим, что промежуток B полностью содержится в промежутке C, поэтому их пересечение равно самому промежутку B.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $B \cap C = [-0,5; 0,9]$.

в) A ∩ B ∩ D
Нам нужно найти пересечение трех промежутков: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$ и $D = (0,1; 1,1]$. Левая граница пересечения: $\max(0; -0,5; 0,1) = 0,1$. Правая граница пересечения: $\min(1; 0,9; 1,1) = 0,9$. Число 0,1 не принадлежит промежутку D (скобка круглая), значит, оно не входит в пересечение. Число 0,9 принадлежит всем трем промежуткам (оно в B, и $0 < 0,9 < 1$, и $0,1 < 0,9 < 1,1$), значит, оно входит в пересечение.

Изображение на числовой прямой:
Ответ: $A \cap B \cap D = (0,1; 0,9]$.

г) A ∩ B ∩ C ∩ D
Нам нужно найти пересечение четырех промежутков: $A = (0; 1)$, $B = [-0,5; 0,9]$, $C = [-1; 1]$ и $D = (0,1; 1,1]$. Мы можем взять результат из предыдущего пункта, $(A \cap B \cap D) = (0,1; 0,9]$, и найти его пересечение с промежутком $C = [-1; 1]$. Промежуток $(0,1; 0,9]$ полностью содержится внутри промежутка $[-1; 1]$, поэтому их пересечение будет равно $(0,1; 0,9]$. Или можно вычислить заново для всех четырех множеств: Левая граница: $\max(0; -0,5; -1; 0,1) = 0,1$. Правая граница: $\min(1; 0,9; 1; 1,1) = 0,9$. Границы определяются так же, как в пункте (в), так как добавление самого широкого промежутка C не меняет крайних точек.

Изображение на числовой прямой будет таким же, как и в пункте (в), поскольку результат пересечения не изменился.
Ответ: $A \cap B \cap C \cap D = (0,1; 0,9]$.