Номер 3.12, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.12 Найдите пересечение $A \cap B$ множеств A и B:

а) А — множество всех натуральных чисел, кратных 10, $B = \{1, 2, 3, \dots, 41\}$;

б) А — множество всех нечётных целых чисел, меньших 1000, $B = \{0, 3, 6, 9, \dots, 21\}$;

в) А = $\{-11, -10, -9, \dots, -1, 0, 1, \dots, 9\}$, В — множество целых чисел, кратных 10;

г) А — множество чётных чисел, В — множество простых чисел.

а)

Множество $A$ — это множество всех натуральных чисел, кратных 10. Его можно записать как $A = \{10, 20, 30, 40, 50, \dots\}$.
Множество $B$ — это множество натуральных чисел от 1 до 41 включительно: $B = \{1, 2, 3, \dots, 41\}$.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Это означает, что мы ищем натуральные числа, которые кратны 10 и при этом находятся в диапазоне от 1 до 41.

Выпишем числа, кратные 10, и проверим, входят ли они в множество $B$ (т.е. удовлетворяют ли они неравенству $1 \le x \le 41$):
- $10$: кратно 10 и $1 \le 10 \le 41$. Подходит.
- $20$: кратно 10 и $1 \le 20 \le 41$. Подходит.
- $30$: кратно 10 и $1 \le 30 \le 41$. Подходит.
- $40$: кратно 10 и $1 \le 40 \le 41$. Подходит.
- $50$: кратно 10, но $50 > 41$. Не подходит. Все последующие числа, кратные 10, также будут больше 41.

Таким образом, пересечением множеств является $\{10, 20, 30, 40\}$.
Ответ: $A \cap B = \{10, 20, 30, 40\}$

б)

Множество $A$ — это множество всех нечётных целых чисел, меньших 1000. $A = \{\dots, -3, -1, 1, 3, \dots, 997, 999\}$.
Множество $B$ представлено как последовательность $0, 3, 6, 9, \dots, 21$. Это множество целых чисел, кратных 3, от 0 до 21 включительно: $B = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$.

Пересечение $A \cap B$ будет содержать элементы из $B$, которые также являются нечётными целыми числами. Условие "меньше 1000" выполняется для всех элементов $B$, поэтому достаточно проверить их на нечётность.

Проверим каждый элемент множества $B$:
- 0 — чётное число.
- 3 — нечётное число.
- 6 — чётное число.
- 9 — нечётное число.
- 12 — чётное число.
- 15 — нечётное число.
- 18 — чётное число.
- 21 — нечётное число.

Следовательно, в пересечение входят только нечётные числа из $B$.
Ответ: $A \cap B = \{3, 9, 15, 21\}$

в)

Множество $A$ — это множество целых чисел от -11 до 9 включительно: $A = \{-11, -10, -9, \dots, -1, 0, 1, \dots, 9\}$.
Множество $B$ — это множество всех целых чисел, кратных 10: $B = \{\dots, -20, -10, 0, 10, 20, \dots\}$.

Пересечение $A \cap B$ состоит из элементов, общих для обоих множеств. Нам нужно найти целые числа, кратные 10, которые находятся в интервале $[-11, 9]$.

Проверим числа из множества $B$, которые могут попасть в диапазон множества $A$ (т.е. удовлетворяют неравенству $-11 \le x \le 9$):
- $\dots, -30, -20$ меньше $-11$.
- $-10$ удовлетворяет условию $-11 \le -10 \le 9$. Подходит.
- $0$ удовлетворяет условию $-11 \le 0 \le 9$. Подходит.
- $10$ не удовлетворяет условию, так как $10 > 9$. Не подходит.
- Все последующие кратные 10 числа также больше 9.

Таким образом, только два числа из $B$ принадлежат множеству $A$.
Ответ: $A \cap B = \{-10, 0\}$

г)

Множество $A$ — это множество всех чётных чисел: $A = \{\dots, -4, -2, 0, 2, 4, \dots\}$.
Множество $B$ — это множество всех простых чисел: $B = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$.

Пересечение $A \cap B$ содержит числа, которые являются одновременно и чётными, и простыми. Вспомним определения:
- Чётное число — целое число, делящееся на 2 без остатка.
- Простое число — это натуральное число (целое положительное), большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя.

Поскольку простые числа по определению являются натуральными, мы ищем только положительные чётные числа.
- Рассмотрим число 2. Оно чётное. Его делители — 1 и 2. Следовательно, 2 — простое число. Значит, $2 \in A \cap B$.
- Рассмотрим любое другое чётное натуральное число $n > 2$. Оно делится на 1, на 2 и на само себя $n$. Так как $n > 2$, у него как минимум три различных делителя, поэтому оно по определению не является простым.

Следовательно, единственным элементом в пересечении множеств $A$ и $B$ является число 2.
Ответ: $A \cap B = \{2\}$