Номер 3.11, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.11 На числовой прямой изобразите следующие промежутки:

$A = (-\sqrt{2}; 1)$, $B = [0; 1,9)$, $C = \left[-1,5; \frac{200}{101}\right]$. Верно ли, что:

a) $A \subset B$;

б) $B \subset C$;

в) $C \subset A$;

г) $A \subset C$?

Для решения задачи представим все числовые промежутки на числовой прямой. Для этого сначала оценим значения границ промежутков в виде десятичных дробей:

• Промежуток $A = (-\sqrt{2}; 1)$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $A \approx (-1,414; 1)$. Это открытый интервал.
• Промежуток $B = [0; 1,9)$. Это полуинтервал, замкнутый слева и открытый справа.
• Промежуток $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$. Так как $\frac{200}{101} = 1\frac{99}{101} \approx 1,98$, то $C \approx [-1,5; 1,98]$. Это замкнутый отрезок.

Изобразим эти промежутки на числовой прямой (выколотые точки для строгих неравенств, закрашенные для нестрогих):

 -1.5 -√2 0 1 1.9 200/101-------[-----(----------[------)-----------)------]--------> | | | | | | C: [=============================================] A: (------------------) B: [--------------------)

Теперь проверим утверждения.

а) A ⊂ B;
Утверждение $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Множество $A = (-\sqrt{2}; 1)$, а множество $B = [0; 1,9)$. Левая граница множества $A$ равна $-\sqrt{2} \approx -1,414$, а левая граница множества $B$ равна $0$. Поскольку $-\sqrt{2} < 0$, существуют числа (например, $-1$), которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

б) B ⊂ C;
Проверяем, является ли множество $B = [0; 1,9)$ подмножеством множества $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$. Для этого нужно, чтобы левая граница $B$ была больше или равна левой границе $C$, а правая граница $B$ была меньше или равна правой границе $C$.
1. Сравним левые границы: $0 \ge -1,5$. Это верно.
2. Сравним правые границы: $1,9 \le \frac{200}{101}$. Переведем $1,9$ в обыкновенную дробь: $1,9 = \frac{19}{10}$. Сравним дроби $\frac{19}{10}$ и $\frac{200}{101}$. Приведем к общему знаменателю или воспользуемся перекрестным умножением: $19 \times 101$ и $200 \times 10$. Получаем $1919$ и $2000$. Так как $1919 < 2000$, то $\frac{19}{10} < \frac{200}{101}$, следовательно $1,9 < \frac{200}{101}$.
Оба условия выполняются. Все точки из промежутка $[0; 1,9)$ содержатся в промежутке $[-1,5; \frac{200}{101}]$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) C ⊂ A;
Проверяем, является ли множество $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$ подмножеством множества $A = (-\sqrt{2}; 1)$.
Сравним левые границы: $-1,5$ и $-\sqrt{2} \approx -1,414$. Так как $-1,5 < -1,414$, то точка $-1,5$ принадлежит множеству $C$, но не принадлежит множеству $A$. Уже этого достаточно, чтобы утверждать, что $C$ не является подмножеством $A$. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно.

г) A ⊂ C?
Проверяем, является ли множество $A = (-\sqrt{2}; 1)$ подмножеством множества $C = [-1,5; \frac{200}{101}]$.
1. Сравним левые границы: нужно, чтобы левая граница $C$ была меньше или равна левой границе $A$. Сравниваем $-1,5$ и $-\sqrt{2}$. Так как $1,5^2 = 2,25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $1,5 > \sqrt{2}$, следовательно $-1,5 < -\sqrt{2}$. Это условие выполняется.
2. Сравним правые границы: нужно, чтобы правая граница $A$ была меньше или равна правой границе $C$. Сравниваем $1$ и $\frac{200}{101}$. Так как $1 = \frac{101}{101}$, а $\frac{101}{101} < \frac{200}{101}$, то $1 < \frac{200}{101}$. Это условие тоже выполняется.
Поскольку $(-\sqrt{2}; 1)$ полностью содержится внутри $[-1,5; \frac{200}{101}]$, утверждение верно.
Ответ: Верно.