Номер 3.5, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.5 Докажите, что заданное множество состоит из одного числа (элемента), и найдите это число:

а) $ \{x \mid x^2 \le 0\} $;

б) $ \{x \mid x^2 + 18x \le -81\} $;

в) $ \{x \mid 41\sqrt{x} \le 0\} $;

г) $ \{x \mid x^2 + 16 \le 8x\} $.

а) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 \le 0$.

Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Таким образом, неравенство $x^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае — когда обе части равны, то есть $x^2 = 0$.

Уравнение $x^2 = 0$ имеет единственное решение $x=0$.

Следовательно, данное множество состоит из одного элемента, числа 0. Это доказывает, что множество состоит из одного элемента, и этот элемент найден.

Ответ: 0

б) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 + 18x \le -81$.

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x^2 + 18x + 81 \le 0$

Выражение в левой части представляет собой формулу квадрата суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = (x+9)^2$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x+9)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного выражения, в данном случае $(x+9)^2$, всегда неотрицателен, то есть $(x+9)^2 \ge 0$.

Следовательно, неравенство $(x+9)^2 \le 0$ справедливо только тогда, когда $(x+9)^2 = 0$.

Решая уравнение $x+9=0$, получаем единственное решение $x = -9$.

Это доказывает, что множество состоит из одного элемента — числа -9.

Ответ: -9

в) Рассматривается множество, заданное условием $41\sqrt{x} \le 0$.

Прежде всего, учтем область допустимых значений для корня: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Разделим обе части неравенства $41\sqrt{x} \le 0$ на 41. Так как 41 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\sqrt{x} \le 0$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Одновременное выполнение условий $\sqrt{x} \le 0$ и $\sqrt{x} \ge 0$ возможно только в случае равенства: $\sqrt{x} = 0$.

Возведя обе части в квадрат, получаем $x=0$.

Данное значение удовлетворяет области допустимых значений. Таким образом, множество состоит из одного элемента — числа 0.

Ответ: 0

г) Рассматривается множество, заданное условием $x^2 + 16 \le 8x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x^2 - 8x + 16 \le 0$

Выражение в левой части является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

Неравенство принимает вид $(x-4)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного выражения, $(x-4)^2$, всегда неотрицателен ($(x-4)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии равенства нулю: $(x-4)^2 = 0$.

Решая уравнение $x-4=0$, находим единственное решение $x=4$.

Следовательно, множество состоит из одного элемента — числа 4.

Ответ: 4