Номер 3.3, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3.3 Запишите заданное множество в виде числового промежутка:

а) ${x | -13 - 3x \ge 0};$

б) ${x | \frac{5 - x}{1 + x} > 1};$

в) ${x | x^2 - 1 < 0};$

г) ${x | \frac{(x^2 - 6x + 10)(x + 2)}{(x^2 + 1)(4 - x)} \ge 0}.$

а) Для того чтобы записать множество $\{x | -13 - 3x \geq 0\}$ в виде числового промежутка, необходимо решить неравенство:
$-13 - 3x \geq 0$
Перенесем $-3x$ в правую часть неравенства, изменив знак:
$-13 \geq 3x$
Разделим обе части на 3:
$-\frac{13}{3} \geq x$
Это неравенство можно записать как $x \leq -\frac{13}{3}$. Множество всех $x$, удовлетворяющих этому условию, представляет собой числовой промежуток от минус бесконечности до $-\frac{13}{3}$, включая эту точку.
Ответ: $(-\infty; -\frac{13}{3}]$

б) Рассмотрим множество $\{x | |\frac{5 - x}{1 + x}| > 1\}$.
Неравенство с модулем вида $|A| > B$ (где $B > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
Также учтем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, то есть $1 + x \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Решим совокупность:
1) $\frac{5 - x}{1 + x} > 1$
$\frac{5 - x}{1 + x} - 1 > 0$
$\frac{5 - x - (1 + x)}{1 + x} > 0$
$\frac{4 - 2x}{1 + x} > 0$
Методом интервалов находим нули числителя ($x=2$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определяем знаки на каждом интервале. Решением является интервал $(-1; 2)$.
2) $\frac{5 - x}{1 + x} < -1$
$\frac{5 - x}{1 + x} + 1 < 0$
$\frac{5 - x + 1 + x}{1 + x} < 0$
$\frac{6}{1 + x} < 0$
Так как числитель $6$ всегда положителен, дробь будет отрицательной, если знаменатель отрицателен:
$1 + x < 0 \implies x < -1$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый числовой промежуток.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 2)$

в) Для множества $\{x | x^2 - 1 < 0\}$ решим квадратное неравенство:
$x^2 - 1 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1) < 0$
Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x = 1$ и $x = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.
Следовательно, решение неравенства — это интервал между $-1$ и $1$.
Ответ: $(-1; 1)$

г) Рассмотрим множество $\{x | \frac{(x^2 - 6x + 10)(x + 2)}{(x^2 + 1)(4 - x)} \geq 0 \}$.
Проанализируем каждый множитель в неравенстве:
1. Выражение $x^2 - 6x + 10$. Найдем его дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно при любом $x$.
2. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом $x$, так как $x^2 \geq 0$.
Поскольку множители $x^2 - 6x + 10$ и $x^2 + 1$ всегда положительны, мы можем разделить на них обе части неравенства, не меняя его знака. Исходное неравенство равносильно следующему:
$\frac{x + 2}{4 - x} \geq 0$
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Нуль знаменателя: $4 - x = 0 \implies x = 4$. Точка $x=4$ не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Наносим точки $-2$ (включительно) и $4$ (исключительно) на числовую прямую и определяем знаки дроби на полученных интервалах.
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5+2}{4-5} < 0$.
- При $-2 \leq x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+2}{4-0} > 0$.
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+2}{4-(-3)} < 0$.
Нам нужен промежуток, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $[-2; 4)$